(всех таких точек), расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.
Связанные определения
- Радиус - не только величина расстояния, но и отрезок , соединяющий центр круга с его границей.
- Отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр, называется диаметром круга.
- Сектор круга - пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
- Сегмент - часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой .
Свойства
- При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
- Круг является выпуклой фигурой .
- Площадь круга радиуса
texvcвычисляется по формуле: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): S = \pi R^2 , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): \pi ≈ 3.14159…. - Площадь сектора равна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): S=\frac {\alpha R^2}{2} , где α - угловая величина дуги в радианах , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): R - радиус. - Периметр круга (длина окружности, ограничивающей круг): Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл
texvcне найден; См. math/README - справку по настройке.): L=2\pi R . - (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.
См. также
- Единичный круг - круг радиуса 1
Напишите отзыв о статье "Круг"
Примечания
Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены - в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.
Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \rho ((x_1, y_1);(x_2,y_2)) = |x_1-x_2|+|y_1-y_2|
, то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (1,0), (0,1),(-1,0),(0,-1)
.
Отрывок, характеризующий Круг
Если я правильно понимала, это и был именно тот, которого Север называл Странником. Тот, кто наблюдал...Одеты оба были в бело-красные длинные одежды, подпоясанные толстым, витым, красным шнуром. Мир вокруг этой необычной пары плавно колыхался, меняя свои очертания, будто сидели они в каком-то закрытом колеблющемся пространстве, доступном только лишь им двоим. Воздух кругом стоял благоухающий и прохладный, пахло лесными травами, елями и малиной... Лёгкий, изредка пробегавший ветерок, нежно ласкал сочную высокую траву, оставляя в ней запахи далёкой сирени, свежего молока и кедровых шишек... Земля здесь была такой удивительно безопасной, чистой и доброй, словно её не касались мирские тревоги, не проникала в неё людская злоба, словно и не ступал туда лживый, изменчивый человек...
Двое беседующих поднялись и, улыбаясь друг другу, начали прощаться. Первым заговорил Светодар.
– Благодарю тебя, Странник... Низкий тебе поклон. Я уже не смогу вернуться, ты знаешь. Я ухожу домой. Но я запомнил твои уроки и передам другим. Ты всегда будешь жить в моей памяти, как и в моём сердце. Прощай.
– Иди, с миром, сын светлых людей – Светодар. Я рад, что встретил тебя. И печален, что прощаюсь с тобой... Я даровал тебе всё, что ты в силах был постичь... И что ты в силах отдать другим. Но это не значит, что люди захотят принять то, что ты захочешь им поведать. Запомни, знающий, человек сам отвечает за свой выбор. Не боги, не судьба – только сам человек! И пока он этого не поймёт – Земля не станет меняться, не станет лучше... Лёгкого тебе пути домой, посвящённый. Да хранит тебя твоя Вера. И да поможет тебе наш Род...
Видение исчезло. А вокруг стало пусто и одиноко. Будто старое тёплое солнце тихо скрылось за чёрную тучу...
– Сколько же времени прошло с того дня, как Светодар ушёл из дома, Север? Я уж было подумала, что он уходил надолго, может даже на всю свою оставшуюся жизнь?..
– А он и пробыл там всю свою жизнь, Изидора. Целых шесть долгих десятков лет.
– Но он выглядит совсем молодым?! Значит, он также сумел жить долго, не старея? Он знал старый секрет? Или это научил его Странник?
– Этого я не могу сказать тебе, мой друг, ибо не ведаю. Но я знаю другое – Светодар не успел научить тому, чему годами учил его Странник – ему не позволили... Но он успел увидеть продолжение своего чудесного Рода – маленького праправнука. Успел наречь его настоящим именем. Это дало Светодару редкую возможность – умереть счастливым... Иногда даже такого хватает, чтобы жизнь не казалась напрасной, не правда ли, Изидора?
– И опять – судьба выбирает лучших!.. Зачем же надо было ему всю жизнь учиться? За что оставлял он свою жену и дитя, если всё оказалось напрасным? Или в этом имелся какой-то великий смысл, которого я до сих пор не могу постичь, Север?
Муж. окружность, сомкнутая кривая черта, всюду равно удаленная от средоточия; | плоскость, площадь внутри этой черты; | толща, тело, плоская вещь того же вида. мат. круг, в первом ·знач., ·т.е. один обвод его называют окружностью; во втором, ·т.е … Толковый словарь Даля
Сущ., м., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? круга, чему? кругу, (вижу) что? круг, чем? кругом, о чём? о круге и в кругу; мн. что? круги, (нет) чего? кругов, чему? кругам, (вижу) что? круги, чем? кругами, о чём? о кругах 1. Кругом… … Толковый словарь Дмитриева
КРУГ, круга, о круге, в, на кругу и круге, мн. круги, м. 1. (в, на круге). Часть плоскости, ограниченная окружностью (мат.). Вычислить площадь круга. Квадратура круга. 2. (на кругу). Площадка, участок земли, образующий фигуру круга (разг.).… … Толковый словарь Ушакова
Кружок, общество, сфера (атмосфера), среда, стихия, комплект, контингент, мир, совокупность, состав (личный), штат, персонал, царство, ведомство, область; ряды, кадры; выбор, ассортимент, коллекция. Круг читателей. Высший круг. Литературный мир.… … Словарь синонимов
КРУГ, а (у), в кругу и в круге, на кругу и на круге, мн. и, ов, муж. 1. (в, на круге). Часть плоскости, ограниченная окружностью. 2. (в, на кругу). Круглая площадка. Молодёжь танцует на кругу. 3. (в круге, на круге, на кругу). Предмет в форме… … Толковый словарь Ожегова
Один из наиболее распространённых элементов мифопоэтической символики гетерогенного происхождения и значения, но чаще всего выражающий идею единства, бесконечности и законченности, высшего совершенства. К. как фигура, образуемая правильной кривой … Энциклопедия мифологии
А, предлож. о круге, в круге и в кругу; мн. круги; м. 1. предлож. в круге. Часть плоскости, ограниченная окружностью; сама окружность. Вычислить площадь круга. Начертить к. Очертить к. вокруг себя. Квадратура круга. Круги на воде от брошенного… … Энциклопедический словарь
- «КРУГ» артель писателей, организовавшаяся в Москве в 1922. В артели принимали участие почти исключительно попутчики (Всеволод Иванов, Л. Сейфуллина, Б. Пастернак, А. Аросев и др.) и явно буржуазные писатели (Е. Замятин, Б. Пильняк, И. Эренбург).… … Литературная энциклопедия
В центре торгового зала биржи, вокруг которого стоят участники торгов. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
- (волж.) род салинга на расшивах, деревянный круг выше кресел (марса), где кончается дерево (т. е. мачта) и начинается шпиль (флагшток). Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь
Книги
- Круг Ландау. Физика войны и мира , Круг Ландау. Данная книга - вторая в трилогии `Круг Ландау` (первая книга - `Жизнь гения` (М.: URSS, 2008)); она продолжает рассказ об академике Л. Д. Ландау (1908-1968), лауреате Нобелевской премии,…
Школьная пора для большинства взрослых людей ассоциируется с беззаботным детством. Конечно, многие неохотно посещают школу, но только там они могут получить базовые знания, которые впоследствии пригодятся им в жизни. Одним из таких является вопрос о том, и круг. Спутать данные понятия достаточно просто, ведь слова являются однокоренными. Но разница между ними не настолько большая, как может показаться неопытному ребенку. Дети данную тему любят по причине ее простоты.
Что такое окружность?
Окружность - это замкнутая линия, каждая точка которой равно удалена от центральной. Самым ярким примером окружности является обруч, который представляет собой замкнутое тело. Собственно, и говорить особо об окружности не приходится. В вопросе о том, что такое окружность и круг, значительно интереснее вторая его часть.
Что такое круг?
Представьте, что вы решили разукрасить нарисованную выше окружность. Для этого можно выбрать любые краски: синие, желтые или зеленые - кому что ближе по душе. И вот вы начали заполнять пустоту чем-то. После того как это было закончено, у нас получилась фигура, которая называется кругом. По сути, круг - это часть поверхности, очерченная окружностью.
У круга есть несколько важных параметров, часть из которых также характерна и для окружности. Первый - это радиус. Им называется расстояние между центральной точкой круга (ну или окружности) и самой окружностью, что создает границы кругу. Вторая важная характеристика, которая неоднократно используется в школьных задачах - это диаметр (то есть расстояние между противоположными точками окружности).
Ну и наконец, третья характеристика, присущая кругу - это площадь. Данное свойство специфичное только для него, окружность не имеет площади в силу того, что у нее нет ничего внутри, а центр, в отличие от круга, скорее воображаемый, чем настоящий. В самом же круге можно установить четкий центр, через который провести ряд линий, которые делят его на сектора.
Примеры круга в реальной жизни
На самом деле возможных предметов, которые можно назвать разновидностью круга, достаточно. Например, если посмотреть на колесо машины прямо, то вот вам пример готового круга. Да, он необязательно должен быть заполнен однотонно, вполне возможны различные узоры внутри него. Второй пример круга - это солнце. Конечно, на него посмотреть будет тяжело, но оно на небе выглядит, как маленький кружочек.
Да, сама звезда Солнце - это не круг, она имеет еще и объем. Но вот само солнце, которое мы видим над нашей головой в летнее время, является типичным кругом. Правда, площадь у него все равно высчитать не получится. Ведь сравнение его с кругом приводится только для наглядности, чтобы было проще понять, что такое окружность и круг.
Отличия окружности от круга
Значит, какой вывод мы можем сделать? Чем отличается окружность от круга, так это тем, что у последнего есть площадь, и в большинстве случаев окружность является границей круга. Хотя бывают и исключения на первый взгляд. Может показаться иногда, что нет окружности в круге, но это не так. В любом случае что-то да есть. Просто окружность может быть очень маленькой, и тогда ее не видно невооруженным глазом.
Также окружностью может быть то, что выделяет круг из фона. Например, на приведеном выше изображении синий круг находится на белом фоне. А вот та черта, по которой мы понимаем, что здесь начинается фигура, и называется в данном случае окружностью. Таким образом, окружность - круга. Вот чем отличается окружность от круга.
Что такое сектор?
Сектор - это участок круга, который образуется двумя проведенными по нему радиусами. Чтобы понять это определение, нужно просто вспомнить пиццу. Когда ее разрезают на равные кусочки, все они и являются секторами круга, который представлен в виде такого вкусного блюда. При этом совершенно необязательно секторы должны быть равны. Они могут быть разной величины. Например, если отрезать половину пиццы, то она также будет сектором этого круга.
Предмет, отображаемый этим понятием, может иметь только круг. тоже можно провести, конечно, но после этого она станет кругом) не имеет площади, поэтому и сектор выделить не получится.
Выводы
Да, тема о круге и окружности (что это такое) очень проста для понимания. Но вообще все то, что касается этих является самым сложным для изучения. Школьнику нужно быть готовым к тому, что круг - фигура капризная. Но, как говорится, тяжело в учении - легко в бою. Да, геометрия - наука сложная. Зато успешное ее освоение позволяет сделать маленький шажок в сторону успеха. Потому что старания при обучении позволяют не только пополнять багаж собственных знаний, но и получать необходимые в жизни навыки. Собственно, на это и нацелена школа. А ответ на вопрос о том, что такое окружность и круг, является вторичным, хоть и важным.
Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас - атомы и молекулы - имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды - основы всего живого - тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо - птицы вьют его также в этой форме.
Данная фигура в древних помыслах культур
Круг - это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.
Издавна круг - это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.
А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов. Круг - конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.
Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?
Что такое окружность
Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.
По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.
Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность
Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений). Следующим этапом идет использование циркуля - инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.
Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.
Какими величинами характеризуется окружность
Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.
Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.
В этой формуле С - длина окружности, r - радиус окружности, d - диаметр, а число Пи - константа со значением 3,14.
Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.
Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.
В чем же главное отличие круга от окружности
По сути, окружность - это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее - это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.
Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг - это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства. Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью - его пустота замещена тканью, куском пространства.
Перейдем непосредственно к понятию круга
Круг - геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.
Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).
В данной формуле S - площадь, r - радиус круга. Число Пи - снова та же константа, равная 3,14.
Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.
Одна четвертая появляется из того, что радиус - это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:
r*r = 1/2*d*1/2*d;
Круг - это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.
Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.
Использование фигуры в задачах с многоугольниками
Также круг - геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.
Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.
Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.
Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).
Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью
Перед нами Если он открыт, то железная каемка люка - это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.
Окружностью также можно назвать любое кольцо - золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, - тоже окружность.
А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, -это круг.
Горлышко бутылки или банки при виде сверху - это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.
Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.
распространенный знак культовой символики» Означает единство, бесконечность, со-вертпенство и законченность. Как символ означает процесс, не имеющий ни начала, ни конца, гармоничный и тяготеющий к центру. В древней мифологии был распространен, например, в виде змеи, которая держит свой хвост в пасти, Круг в своей действительности и развитии есть шар. В космогонических мифах вселенная часто изображалась в форме шара. Во временном отношении круг воплощен в идее цикла, тесно связан с календарем.
Отличное определение
Неполное определение ↓
КРУГ
первичный символ единства и бесконечности, знак абсолюта и совершенства. Как бесконечная линия, круг символизирует время в вечности, а как макро-космический знак образует круг Зодиака. Он является древнейшим мистическим символом, традиционно обозначающим Небо, Вселенную и Вечность. Иногда изображается в виде Уробороса - змея, кусающего собственный хвост. Пустота в середине окружности редко остается незаполненной: чаще всего в нее вписывают квадрат, или крест, или равносторонний треугольник, или пентаграмму. В любом случае фигура, вписанная в окружность, символизирует отношение между понятием, обозначаемым данной фигурой, и вечностью. Таков, в частности, мистический смысл древней задачи о «квадратуре круга»: решив ее, адепт постигает равнозначность Земли и Неба, Пространства и Времени, Человека и Вселенной. В Египте круг с точкой в центре был символом человека. Круг - древний дохристианский знак колеса-солнца. Сложный символ, соединяющий идею совершенства и вечности, круг превосходит все другие геометрические формы. Линия круга - это единственная линия, которая не имеет ни начала, ни конца и все точки которой эквивалентны. Центр круга - источник бесконечного вращения времени и пространства. Именно поэтому в понимании масонов круг - конец всех фигур, так как в нем заключена тайна творения. Круг - одна из наиболее широко употребляемых фигур для выражения идеи вечности, так как движение по кругу символически означает постоянное возвращение к самому себе. Круг, который проходит стрелка в циферблате часов или на шкале в компасе, также обозначает возвращение в точку отправления. В буддизме единство внутреннего и внешнего миров символизируется тремя кругами. Первый круг изображает демона, держащего в своей пасти 12 изначальных первопричин. Во внутреннем круге сцепились курица (сладострастие), змея (гнев) и свинья (омраченность). А средний круг вмещает картины шести категорий: царства людей, богов, демонов, животных, ада и страдающих духов. В дзен-буддизме концентрические круги означают высшие степени просветления и совершенство в единстве: потому инь и ян изображаются заключенными в круге. Храм языческого бога, каким он предстает, в частности, в итальянской живописи начиная с XVI в., - это, как правило, круглая постройка. Колонны, образующие круглую колоннаду, поддерживают свод собора - эта форма была традиционной в античной архитектуре. Ренессансные архитекторы, следовавшие принципам, впервые сформулированным итальянским ученым Леоном Альберти в XV в., возвратились к кругу как основной форме церковного здания. Круг и сферу считали совершенной формой, согласующейся с ренессансной концепцией Бога, согласно которой он был космическим разумом, принявшим форму сферы, заключающей в себе весь космос - дух, ум и материю - в нисходящих концентрических сферах. В христианстве концентрические круги представляют духовные иерархии или разные стадии творения. Например, круг используется символически в изображениях неба в виде концентрических хоров ангелов и при расположении учеников, стоящих вокруг Христа. Три пересекающихся круга означают Троицу, а равнобедренный треугольник с тремя кругами является монограммой трех ипостасей одного Бога. Круг представляет небо в противоположность квадрату земли. Совершенная геометрия круга объемлет несовершенства во временном мире, возникающие с течением времени. Круг в квадрате - распространенный каббалистический знак, означающий божественную искру, скрытую в материи. Адам Кадмон в каббалистической пиктограмме изображается заключенным в круг. В свою очередь, квадрат в круге означает мир физических элементов. Круг, как монограмма Бога, обозначает не только Его совершенство, но и Его предвечность. Серия концентрических кругов один внутри другого означает космос. Магический круг является элементом традиционной разметки места для магических операций. Как правило, особого вида кольцевая структура состоит из трех окружностей, т. е. двух лимбов и центрального круга, внутри которого располагается маг, совершающий ритуал. Большинство теоретиков и практических магов утверждают, что круг обладает защитной функцией. Поэтому в лимбы непременно вписывают пентаграммы и другие знаки, останавливающие злых духов. Известно немало легенд о том, что духи не видят мага, находящегося в круге, но могут растерзать его при нарушении магического круга. Источ.: Холл Дж. Словарь сюжетов и символов в искусстве. М., 1999; Энциклопедия мистических терминов. М., 1998; Энциклопедия символов, знаков, эмблем. М., 1999; Шейнина Е. Я. Энциклопедия символов. М., 2001.
