Цепи Маркова
Введение
§ 1. Цепь Маркова
§ 2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода
§3. Равенство Маркова
§4. Стационарное распределение. Теорема о предельных вероятностях
§5. Доказательство теоремы о предельных вероятностях в цепи Маркова
§6. Области применения цепей Маркова
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Тема нашей курсовой работы цепи Маркова. Цепи Маркова названы так в честь выдающегося русского математика, Андрея Андреевича Маркова, который много занимался случайными процессами и внес большой вклад в развитие этой области. В последнее время можно услышать о применении цепей Маркова в самых разных областях: современных веб-технологиях, при анализе литературных текстов или даже при разработке тактики игры футбольной команды. У тех, кто не знает что такое цепи Маркова, может возникнуть ощущение, что это что-то очень сложное и почти недоступное для понимания.
Нет, все как раз наоборот. Цепь Маркова это один из самых простых случаев последовательности случайных событий. Но, несмотря на свою простоту, она часто может быть полезной даже при описании довольно сложных явлений. Цепью Маркова называют такую последовательность случайных событий, в которой вероятность каждого события зависит только от предыдущего, но не зависит от более ранних событий.
Прежде чем углубиться, нужно рассмотреть несколько вспомогательных вопросов, которые общеизвестны, но совершенно необходимы для дальнейшего изложения.
Задача моей курсовой работы – более подробно изучить приложения цепей Маркова, постановку задачи и проблемы Маркова.
§1. Цепь Маркова
Представим, что производится последовательность испытаний.
Определение.
Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется одно и только одно из несовместных событий полной группы, причем условная вероятность того, что в -м испытании наступит событие 
, при условии, что в -м испытании наступило событие 
, не зависит от результатов предшествующих испытаний.
Например, если последовательность испытаний образует цепь Маркова и полная группа состоит из четырех несовместных событий , причем известно, что в шестом испытании появилось событие , то условная вероятность того, что в седьмом испытании наступит событие , не зависит от того, какие события появились в первом, втором, …, пятом испытаниях.
Заметим, что независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. Действительно, если испытания независимы, то появление некоторого определенного события в любом испытании не зависит от результатов ранее произведенных испытаний. Отсюда следует, что понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых испытаний.
Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминология и говорят о некоторой физической системе , которая в каждый момент времени находится в одном из состояний: , и меняет свое состояние только в отдельные моменты времени то есть система переходит из одного состояния в другое (например из в ). Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние в момент зависит только от того, в каком состоянии система находилась в момент , и не изменяется от того, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты. Так же в частности, после испытания система может остаться в том же состоянии («перейти» из состояния в состояние ).
Для иллюстрации рассмотрим пример.
Пример 1.
Представим, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты . Частица может находиться в точках с целочисленными координатами: 
; в точках и находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью и влево с вероятностью , если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками. Здесь мы видим, что этот пример блуждания частицы представляет собой типичную цепь Маркова.
Таким образом, события называют состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояний.
Дадим теперь определение цепи Маркова, используя новую терминологию.
Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени.
Цепью Маркова с непрерывным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в любые случайные возможные моменты времени.
§2. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода
Определение. Однородной называют цепь Маркова, если условная вероятность (переход из состояния в состоянии ) не зависит от номера испытания. Поэтому вместо пишут просто .
Пример 1. Случайное блуждание. Пусть на прямой в точке с целочисленной координатой находится материальная частица. В определенные моменты времени частица испытывает толчки. Под действием толчка частица с вероятностью смещается на единицу вправо и с вероятностью – на единицу влево. Ясно, что положение (координата) частицы после толчка зависит от того, где находилась частица после непосредственно предшествующего толчка, и не зависит от того, как она двигалась под действием остальных предшествующих толчков.
Таким образом, случайное блуждание − пример однородной цепи Маркова с дискретным временем.
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состояния (в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние .
Таким образом, в обозначении первый индекс указывает номер предшествующего, а второй − номер последующего состояния. Например, – вероятность перехода из второго состояния в третье.
Пусть число состояний конечно и равно .
Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:
Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния в любое возможное состояние ), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице. Другими словами, сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице:
Приведем пример матрицы перехода системы, которая может находиться в трех состояниях ; переход из состояния в состояние происходит по схеме однородной цепи Маркова; вероятности перехода задаются матрицей:
Здесь видим, что если система находилось в состоянии , то после изменения состояния за один шаг она с вероятностью 0,5 останется в этом же состоянии, с вероятностью 0,5 останется в этом же состоянии, с вероятностью 0,2 перейдет в состояние , то после перехода она может оказаться в состояниях ; перейти же из состояния в она не может. Последняя строка матрицы показывает нам, что из состояния перейти в любое из возможных состояний с одной и той же вероятностью 0,1.
На основе матрицы перехода системы можно построить так называемый граф состояний системы,его еще называют размеченный граф состояний. Это удобно для наглядного представления цепи. Порядок построения граф рассмотрим на примере.
Пример 2. По заданной матрице перехода построить граф состояний.
Т.к. матрица четвертого порядка, то, соответственно, система имеет 4 возможных состояния.
На графе не отмечаются вероятности перехода системы из одного состояния в то же самое. При рассмотрении конкретных систем удобно сначала построить граф состояний, затем определить вероятность переходов системы из одного состояния в то же самое (исходя из требования равенства единице суммы элементов строк матрицы), а потом составить матрицу переходов системы.
§3. Равенство Маркова
Определение. Обозначим через вероятность того, что в результате шагов (испытаний) система перейдет из состояния в состояние . Например, – вероятность перехода за 10 шагов из второго состояния в пятое.
Подчеркнем, что при получим переходные вероятности
Поставим перед собой задачу: зная переходные вероятности найти вероятности перехода системы из состояния в состояние за шагов.
С этой целью введем в рассмотрение промежуточное (между и ) состояние . Другими словами, будeм считать, что из первоначального состояния за шагов система перейдет в промежуточное состояние с вероятностью , после чего за оставшиеся шагов из промежуточного состояния она перейдет в конечное состояние с вероятностью .
По формуле полной вероятности, получим
. (1)
Эту формулу называют равенством Маркова.
Пояснение. Введем обозначения:
– интересующее нас событие (за шагов система перейдет из начального состояния в конечное ), следовательно, ; 
− гипотезы(за шагов система перейдет из первоначального состояния в промежуточное состояние ), следовательно, − условная вероятность наступления при условии, что имела место гипотеза (за шагов система перейдет из промежуточного состояния в конечное ), следовательно, 
По формуле полной вероятности,
()
Или в принятых нами обозначениях
что совпадает с формулой Маркова (1).
Зная все переходные вероятности т.е зная матрицу перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага, следовательно, и саму матрицу перехода ; по известной матрице можно найти матрицу перехода из состояния в состояние за три шага, и т.д.
Действительно, положив в равенстве Маркова
,
цепь марков случайный вероятность
,
(2)
Таким образом, по формуле (2) можно найти все вероятности следовательно, и саму матрицу . Поскольку непосредственное использование формулы (2) оказывается утомительным, а матричное исчисление ведет к цели быстрее, напишу вытекающие из (2) соотношение в матричной форме:
Положив в (1), аналогично получим
В общем случае
Теорема 1. При любых s, t
(3)
Доказательство. Вычислим вероятность 
по формуле полной вероятности (), положив
Из равенств
Отсюда из равенств (4) и
получим утверждение теоремы.
Определим матрицу В матричной записи (3) имеет вид
Так как то где − матрица вероятности перехода. Из (5) следует
(6)
Результаты, полученной в теории матриц, позволяют по формуле (6) вычислить и исследовать их поведение при
Пример 1.
Задана матрица перехода 
Найти матрицу перехода 
Решение. Воспользуемся формулой
Перемножив матрицы, окончательно получим:
.
§4. Стационарное распределение. Теорема о предельных вероятностях
Распределение вероятностей в произвольной момент времени можно найти, воспользовавшись формулой полной вероятности
(7)
Может оказаться, что не зависит от времени. Назовем стационарным распределением
вектор 
, удовлетворяющий условиям
где вероятности перехода.
Если в цепи Маркова 
то при любом
Это утверждение следует по индукции из (7) и (8).
Приведем формулировку теоремы о предельных вероятностях для одного важного класса цепей Маркова.
Теорема 1. Если при некотором >0 все элементы матрица положительны, то для любых , при
, (9)
где 
стационарное распределение с а некоторая постоянная, удовлетворяющая неравенством 0<
h
<1.
Так как , то по условию теоремы из любого состояния можно попасть в любое за время с положительной вероятностью. Условия теоремы исключает цепи, являющиеся в некотором смысле периодическими.
Если выполнить условие теоремы 1, то вероятность того, что система находится в некотором состоянии , в пределе не зависит от начального распределение. Действительно, из (9) и (7) следует, что при любом начальном распределении ,
Рассмотрим несколько примеров цепи Маркова, которых условия теоремы 1, не выполнены. Нетрудно проверить, что такими примерами является примеры. В примере вероятности перехода имеют приделы, но эти приделы зависят от начального состояния. В частности, при
В других примеров приделы вероятностей при очевидно, не существуют.
Найдем стационарное распределение в примере 1. Нужно найти вектор 
удовлетворяющий условиям (8):
,
;
Отсюда, Таким образом, стационарное распределение существует, но не все координаты векторы положительны.
Для полиномиальной схемы были введены случайные величины, равные чесу исходов данного типа. Введем аналогичные величины для цепей Маркова. Пусть − число попадания системы в состояние за время . Тогда частота попаданий системы в состояние . Используя формулы (9), можно доказать, что при сближается с . Для этого нужно получить асимптотические формулы для и и воспользоваться неравенством Чебышева. Приведем вывод формулы для . Представим в виде
(10)
где , если , и в противном случае. Так как
,
то, воспользовавшись свойством математического ожидания и формулой (9), получим
.
Втрое слагаемое в правой части этого равенства в силу теоремы 1 является частной суммой сходящегося ряда. Положив 
, получим
Поскольку
Из формулы (11), в частности, следует, что
при
Так же можно получить формулу для которая используется для вычисления дисперсии.
§5. Доказательство теоремы о предельных вероятностях в цепи Маркова
Докажем сначала две леммы. Положим
Лемма 1. При любых существуют пределы
Доказательство. Используя уравнение (3) с получим
Таким образом, последовательности и монотонны и ограничены. Отсюда следует утверждение леммы 1.
Лемма 2.
Если выполнены условия теоремы 2, то существуют постоянные , 
такие, что
Для любых
где , означает суммирование по всем , при которых положительно, а суммирование по остальным . Отсюда
. (12)
Так как в условиях теоремы 1 вероятности перехода при всех , то при любых
И в силу конечности числа состояний
Оценим теперь разность 
. Используя уравнение (3) с , , получим
Отсюда, используя (8)-(10), найдем
=
.
Объединяя это соотношение с неравенством (14) , получим утверждение леммы.
Перейти к доказательству теоремы. Так как последовательности , монотонны, то
0<
. (15)
Отсюда и из леммы 1 находим
Следовательно, при получи и
Положительность следует из неравенства (15). Переходя к пределу при и в уравнении (3), получим, что удовлетворяет уравнению (12). Теорема доказана.
§6. Области применения цепей Маркова
Цепи Маркова служат хорошим введением в теорию случайных процессов, т.е. теорию простых последовательностей семейства случайных величин, обычно зависящих от параметра, который в большинстве приложений играет роль времени. Она предназначена, главным образом, для полного описания как долговременного, так и локального поведения процесса. Приведем некоторые наиболее изученные в этом плане вопросы.
Броуновское движение и его обобщения - диффузионные процессы и процессы с независимыми приращениями. Теория случайных процессов способствовала углублению связи между теорией вероятностей, теорией операторов и теорией дифференциальных уравнений, что, помимо прочего, имело важное значение для физики и других приложений. К числу приложений относятся процессы, представляющие интерес для актуарной (страховой) математики, теории массового обслуживания, генетики, регулирования дорожного движения, теории электрических цепей, а также теории учета и накопления товаров.
Мартингалы. Эти процессы сохраняют достаточно свойств цепей Маркова, чтобы для них оставались в силе важные эргодические теоремы. От цепей Маркова мартингалы отличаются тем, что когда текущее состояние известно, только математическое ожидание будущего, но необязательно само распределение вероятностей, не зависит от прошлого. Помимо того, что теория мартингалов представляет собой важный инструмент для исследования, она обогатила новыми предельными теоремами теорию случайных процессов, возникающих в статистике, теории деления атомного ядра, генетике и теории информации.
Стационарные процессы. Самая старая из известных эргодических теорем, как отмечалось выше, может быть интерпретирована как результат, описывающий предельное поведение стационарного случайного процесса. Такой процесс обладает тем свойством, что все вероятностные законы, которым он удовлетворяет, остаются инвариантными относительно сдвигов по времени. Эргодическую теорему, впервые сформулированную физиками в качестве гипотезы, можно представить как утверждение о том, что при определенных условиях среднее по ансамблю совпадает со средним по времени. Это означает, что одну и ту же информацию можно получить из долговременного наблюдения за системой и из одновременного (и одномоментного) наблюдения многих независимых копий той же самой системы. Закон больших чисел есть не что иное, как частный случай эргодической теоремы Биркгофа. Интерполяция и предсказание поведения стационарных гауссовских процессов, понимаемых в широком смысле, служат важным обобщением классической теории наименьших квадратов. Теория стационарных процессов - необходимое орудие исследования во многих областях, например, в теории связи, которая занимается изучением и созданием систем, передающих сообщения при наличии шума или случайных помех.
Марковские процессы (процессы без последействия) играют огромную роль в моделировании систем массового обслуживания (СМО), а также в моделировании и выборе стратегии управления социально-экономическими процессами, происходящими в обществе.
Также цепь Маркова можно использовать для генерации текстов. На вход подается несколько текстов, затем строится цепь Маркова с вероятностями следования одних слов за другими и на основе данной цепи создается результирующий текст. Игрушка получается весьма занятной!
Заключение
Таким образом, в нашей курсовой работе речь шла о схеме цепей Маркова. Узнали, в каких областях и как она применяется, независимые испытания являются доказали теорему о предельных вероятностях в цепи Маркова, приводили примеры для типичной и однородной цепи Маркова, а так же для нахождения матрицы перехода.
Мы убедились в том, что схема цепей Маркова является непосредственным обобщением схемы независимых испытаний.
Список использованной литературы
1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. 6-е изд., испр. − СПб.: Издательство «Лань», 2003. − 272 с. − (Учебник для вузов. Специальная литература).
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.
5. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. − Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 188 стр.
6. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью . Для такого процесса моменты t 1 , t 2 , когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t , а номер шага 1, 2, k , Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0) , S(1) , S(2) , S(k) , где S(0) - начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) - состояние системы после первого шага; S(k) - состояние системы после k -го шага...
Событие {S(k) = S i }, состоящее в том, что сразу после k -го шага система находится в состоянии S i (i = 1, 2,), является случайным событием. Последовательность состояний S(0) , S(1) , S(k) , можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью , если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния S i в любое S j не зависит от того, когда и как система пришла в состояние S i . Начальное состояние S(0) может быть заданным заранее или случайным.
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности P i (k) того, что после k -го шага (и до (k + 1)-го) система S будет находиться в состоянии S i (i = 1, 2, n ). Очевидно, для любою k .
Начальным распределением вероятностей Марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:
P 1 (0), P 2 (0), P i (0), P n (0).
В частном случае, если начальное состояние системы S в точности известно S(0) = S i , то начальная вероятность Р i (0) = 1, а все остальные равны нулю.
Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k -м шаге из состояния S i в состояние S j называется условная вероятность того, что система S после k -го шага окажется в состоянии S j при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шага) она находилась в состоянии S i .
Поскольку система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать n 2 вероятностей перехода P ij , которые удобно представить в виде следующей матрицы:
где Р ij - вероятность перехода за один шаг из состояния S i в состояние S j ;
Р ii - вероятность задержки системы в состоянии S i .
Такая матрица называется переходной или матрицей переходных вероятностей.
Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь маркова называется однородной .
Переходные вероятности однородной Марковской цепи Р ij образуют квадратную матрицу размера n m .
Отметим некоторые ее особенности:
1. Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из i -го) состояния, в том числе и переход в самое себя.
2. Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j -е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец - в состояние).
3. Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
4. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Р ii того, что система не выйдет из состояния S i , а останется в нем.
Если для однородной Марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица переходных вероятностей , то вероятности состояний системы P i (k) (i, j = 1, 2, n ) определяются по рекуррентной формуле:
, (3.1)
Пример 1. Рассмотрим процесс функционирования системы - автомобиль. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправном (S 1 ) и неисправном (S 2 ). Граф состояний системы представлен на рис. 3.2.
Рис. 3.2.Граф состояний автомобиля
В результате проведения массовых наблюдений за работой автомобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:
где P 11 = 0,8 - вероятность того, что автомобиль останется в исправном состоянии;
P 12 = 0,2 - вероятность перехода автомобиля из состояния «исправен» в состояние «неисправен»;
P 21 = 0,9 - вероятность перехода автомобиля из состояния «неисправен» в состояние «исправен»;
P 22 = 0,1 - вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».
Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан , т.е. Р 1 (0) = 0 и Р 2 (0) =1.
Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.
Используя матрицу переходных вероятностей и формулу (3.1), определим вероятности состояний P i (k) после первого шага (после первых суток):
P 1 (1) = P 1 (0)×P 11 + P 2 (0)×P 21 = 0?0,8 + 1?0,9 = 0,9;
P 2 (1) = P 1 (0)×P 12 + P 2 (0)×P 22 = 0?0,2 + 1?0,1 = 0,2.
Вероятности состояний после второго шага (после вторых суток) таковы:
P 1 (2) = P 1 (1)×P 11 + P 2 (1)×P 21 = 0,9×0,8 + 0,1×0,9 = 0,81;
= 0,9×0,2 + 0,1×0,1 = 0,19.
Вероятности состояний после третьего шага (после третьих суток) равны:
P 1 (3) = P 1 (2)×P 11 + P 2 (2)×P 21 = 0,81×0,8 + 0,19×0,9 = 0,819;
= 0,81×0,2 + 0,19×0,1 = 0,181.
Таким образом, после третьих суток автомобиль будет находиться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.
Пример 2. В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматриваться как физическая система S , которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний: S 1 - ЭВМ полностью исправна; S 2 - ЭВМ имеет неисправности в оперативной памяти, при которых она может решать задачи; S 3 - ЭВМ имеет существенные неисправности и может решать ограниченный класс задач; S 4 - ЭВМ полностью вышла из строя.
В начальный момент времени ЭВМ полностью исправна (состояние S 1 ). Проверка ЭВМ производится в фиксированные моменты времени t 1 , t 2 , t 3 . Процесс, протекающий в системе S , может рассматриваться как однородная марковская цепь с тремя шагами (первая, вторая, третья проверки ЭВМ). Матрица переходных вероятностей имеет вид
Определить вероятности состояний ЭВМ после трех проверок.
Решение . Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 3.3. Против каждой стрелки проставлена соответствующая вероятность перехода. Начальные вероятности состояний P 1 (0) = 1, P 2 (0) = P 3 (0) = P 4 (0) = 0.
Рис. 3.3. Граф состояний ЭВМ
По формуле (3.1), учитывая в сумме вероятностей только те состояния, из которых возможен непосредственный переход в данное состояние, находим:
P 1 (1) = P 1 (0)×P 11 = 1×0,3 = 0,3;
P 2 (1) = P 1 (0)×P 12 = 1×0,4 = 0,4;
P 3 (1) = P 1 (0)×P 13 = 1×0,1 = 0,1;
P 4 (1) = P 1 (0)×P 14 = 1×0,2 = 0,2;
P 1 (2) = P 1 (1)×P 11 = 0,3×0,3 = 0,09;
P 2 (2) = P 1 (1)×P 12 + P 2 (1)×P 22 = 0,3×0,4 + 0,4×0,2 = 0,20;
P 3 (2) = P 1 (1)×P 13 + P 2 (1)×P 23 + P 3 (1)×P 33 = 0,27;
P 4 (2) = P 1 (1)×P 14 + P 2 (1)×P 24 + P 3 (1)×P 34 + P 4 (1)×P 44 = 0,44;
P 1 (3) = P 1 (2)×P 11 = 0,09×0,3 = 0,027;
P 2 (3) = P 1 (2)×P 12 + P 2 (2)×P 22 = 0,09×0,4 + 0,20×0,2 = 0,076;
P 3 (3) = P 1 (2)×P 13 + P 2 (2)×P 23 + P 3 (2)×P 33 = 0,217;
P 4 (3) = P 1 (2)×P 14 + P 2 (2)×P 24 + P 3 (2)×P 34 + P 4 (2)×P 44 = 0,680.
Итак, вероятности состояний ЭВМ после трех проверок следующие: P 1 (3) = 0,027; P 2 (3) = 0,076; P 3 (3) = 0,217; P 4 (3) = 0,680.
Задача 1. По некоторой цели ведется стрельба четырьмя выстрелами в моменты времени t 1 , t 2 , t 3 , t 4 .
Возможные состояния системы: S 1 - цель невредима; S 2 - цель незначительно повреждена; S 3 - цель получила значительные повреждения; S 4 - цель полностью поражена. В начальный момент времени цель находится в состоянии S 1 . Определить вероятности состояний цели после четырех выстрелов если матрица переходных вероятностей имеет вид:
Однородной
называют цепь Маркова, для которой
условная вероятностьперехода из состояния
в состояние
не зависит от номера испытания. Для
однородных цепей вместо
используют обозначение
.
Примером однородной
цепи Маркова могут служить случайные
блуждания. Пусть на прямой Oxв точке с целочисленной координатойx=nнаходится материальная
частица. В определенные моменты времени
частица скачкообразно меняет свое
положение (например, с вероятностьюpможет сместиться вправо и с вероятностью
1 –p– влево). Очевидно,
координата частицы после скачка зависит
от того, где находилась частица после
непосредственно предшествующего скачка,
и не зависит от того, как она двигалась
в предшествующие моменты времени.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением конечных однородных цепей Маркова.
Переходные вероятности. Матрица перехода.
Переходной
вероятностью
называют
условную вероятность того, что из
состояния
в итоге следующего испытания система
перейдет в состояние
.
Таким образом, индекс
относится к предшествующему, а
- к последующему состоянию.
Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:
,
где
представляют вероятности перехода за
один шаг.
Отметим некоторые особенности матрицы перехода.
Равенство Маркова
Обозначим через
вероятность того, что в результатеnшагов (испытаний) система перейдет из
состояния
в состояние
.
Например,
-
вероятность перехода за 10 шагов из
третьего состояния в шестое. Отметим,
что приn= 1 эта вероятность
сводится просто к переходной вероятности
.
Возникает вопрос,
как, зная переходные вероятности
,
найти вероятности перехода состояния
в состояние
заnшагов. С этой целью
вводится в рассмотрение промежуточное
(между
и
) состояниеr. Другими
словами, полагают, что из первоначального
состояния
заmшагов система перейдет
в промежуточное состояниеrс вероятностью
,
после чего за оставшиесяn–mшагов из промежуточного
состоянияrона перейдет
в конечное состояние
с вероятностью
.
Используя формулу полной вероятности,
можно показать, что справедлива формула
Эту формулу называют равенством Маркова .
Зная все переходные
вероятности
,
т.е. зная матрицу перехода
из состояния в состояние за один шаг,
можно найти вероятности
перехода из состояние в состояние за
два шага, а значит, и саму матрицу перехода
,
далее – по известной матрице
- найти
и т.д.
Действительно, полагая в равенстве Маркова n= 2,m= 1 получим
или
.
В матричном виде это можно записать как
.
Полагая n=3,m=2, получим
.
В общем случае справедливо соотношение
.
Пример
. Пусть
матрица перехода
равна
Требуется найти
матрицу перехода
.
Умножая матрицу
саму на себя, получим
.
Для практических применений чрезвычайно важным является вопрос о расчете вероятности нахождения системы в том или ином состоянии в конкретный момент времени. Решение этого вопроса требует знания начальных условий, т.е. вероятностей нахождения системы в определенных состояниях в начальный момент времени. Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса.
Здесь через
обозначена вероятность нахождения
системы в состоянии
в начальный момент времени. В частном
случае, если начальное состояние системы
в точности известно (например
),
то начальная вероятность
,
а все остальные равны нулю.
Если для однородной
цепи Маркова заданы начальное распределение
вероятностей и матрица перехода, то
вероятности состояний системы на n-м
шаге
вычисляются
по рекуррентной формуле
.
Для иллюстрации
приведем простой пример. Рассмотрим
процесс функционирования некоторой
системы (например, прибора). Пусть прибор
в течение одних суток может находиться
в одном из двух состояний – исправном
(
)
и неисправном (
).
В результате массовых наблюдений за
работой прибора составлена следующая
матрица перехода
,
где
- вероятность того, что прибор останется
в исправном состоянии;
- вероятность
перехода прибора из исправного в
неисправное состояние;
- вероятность
перехода прибора из неисправного в
исправное состояние;
- вероятность того,
что прибор останется в состоянии
"неисправен".
Пусть вектор начальных вероятностей состояний прибора задан соотношением
,
т.е.
(в начальный момент прибор был
неисправен). Требуется определить
вероятности состояния прибора через
трое суток.
Решение : Используя матрицу перехода, определим вероятности состояний после первого шага (после первых суток):
Вероятности состояний после второго шага (вторых суток) равны
Наконец, вероятности состояний после третьего шага (третьих суток) равны
Таким образом, вероятность того, что прибор будет находиться в исправном состоянии равна 0,819, и того, что в неисправном – соответственно 0,181.
по себе, а отчасти рассматриваем мы ее из-за того, что ее изложение не требует введения большого количества новых терминов.Рассмотрим задачу об осле, стоящем точно между двумя копнами: соломы ржи и соломы пшеницы (рис. 10.5).
Осел стоит между двумя копнами: "Рожь" и "Пшеница" (рис. 10.5). Каждую минуту он либо передвигается на десять метров в сторону первой копны (с вероятностью ), либо в сторону второй копны (с вероятностью ), либо остается там, где стоял (с вероятностью ); такое поведение называется одномерным случайным блужданием. Будем предполагать, что обе копны являются "поглощающими" в том смысле, что если осел подойдет к одной из копен, то он там и останется. Зная расстояние между двумя копнами и начальное положение осла, можно поставить несколько вопросов, например: у какой копны он очутится с большей вероятностью и какое наиболее вероятное время ему понадобится, чтобы попасть туда?
Рис. 10.5.
Чтобы исследовать эту задачу подробнее, предположим, что расстояние
между
копнами равно пятидесяти метрам и что наш осел находится в двадцати метрах
от копны "Пшеницы". Если места, где можно остановиться, обозначить
через 
( - сами
копны), то его начальное положение можно задать вектором -я
компонента которого равна вероятности того, что он первоначально находится
в . Далее, по
прошествии одной минуты вероятности его
местоположения описываются вектором , а через
две минуты - вектором . Ясно, что
непосредственное вычисление
вероятности его нахождения в заданном месте по
прошествии минут становится затруднительным. Оказалось, что
удобнее всего ввести для этого матрицу перехода
.
Пусть - вероятность того, что он переместится из в за одну минуту. Например, и . Эти вероятности называются вероятностями перехода , а -матрицу называют матрицей перехода . Заметим, что каждый элемент матрицы неотрицателен и что сумма элементов любой из строк равна единице. Из всего этого следует, что - начальный вектор -строка, определенный выше, местоположение осла по прошествии одной минуты описывается вектором-строкой , а после минут - вектором . Другими словами, -я компонента вектора определяет вероятность того, что по истечении минут осел оказался в .
Можно обобщить эти понятия. Назовем вектором вероятностей вектор -строку, все компоненты которого неотрицательны и дают в сумме единицу. Тогда матрица перехода определяется как квадратная матрица , в которой каждая строка является вектором вероятностей. Теперь можно определить цепь Маркова (или просто цепь) как пару , где есть - матрица перехода , а есть - вектор -строка. Если каждый элемент из рассматривать как вероятность перехода из позиции в позицию , а - как начальный вектор вероятностей, то придем к классическому понятию дискретной стационарной цепи Маркова , которое можно найти в книгах по теории вероятностей (см. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. М.: Мир. 1967) Позиция обычно называется состоянием цепи . Опишем различные способы их классификации.
Нас будет интересовать следующее: можно ли попасть из одного данного состояния в другое, и если да, то за какое наименьшее время. Например, в задаче об осле из в можно попасть за три минуты и вообще нельзя попасть из в . Следовательно, в основном мы будем интересоваться не самими вероятностями , а тем, положительны они или нет. Тогда появляется надежда, что все эти данные удастся представить в виде орграфа , вершины которого соответствуют состояниям, а дуги указывают на то, можно ли перейти из одного состояния в другое за одну минуту. Более точно, если каждое состояние представлено соответствующей ему вершиной).
Цепь Маркова – череда событий, в которой каждое последующее событие зависит от предыдущего. В статье мы подробнее разберём это понятие.
Цепь Маркова – это распространенный и довольно простой способ моделирования случайных событий. Используется в самых разных областях, начиная генерацией текста и заканчивая финансовым моделированием. Самым известным примером является SubredditSimulator . В данном случае Цепь Маркова используется для автоматизации создания контента во всем subreddit.
Цепь Маркова понятна и проста в использовании, т. к. она может быть реализована без использования каких-либо статистических или математических концепций. Цепь Маркова идеально подходит для изучения вероятностного моделирования и Data Science.
Сценарий
Представьте, что существует только два погодных условия: может быть либо солнечно, либо пасмурно. Всегда можно безошибочно определить погоду в текущий момент. Гарантированно будет ясно или облачно.
Теперь вам захотелось научиться предсказывать погоду на завтрашний день. Интуитивно вы понимаете, что погода не может кардинально поменяться за один день. На это влияет множество факторов. Завтрашняя погода напрямую зависит от текущей и т. д. Таким образом, для того чтобы предсказывать погоду, вы на протяжении нескольких лет собираете данные и приходите к выводу, что после пасмурного дня вероятность солнечного равна 0,25. Логично предположить, что вероятность двух пасмурных дней подряд равна 0,75, так как мы имеем всего два возможных погодных условия.
Теперь вы можете прогнозировать погоду на несколько дней вперед, основываясь на текущей погоде.
Этот пример показывает ключевые понятия цепи Маркова. Цепь Маркова состоит из набора переходов, которые определяются распределением вероятностей, которые в свою очередь удовлетворяют Марковскому свойству.
Обратите внимание, что в примере распределение вероятностей зависит только от переходов с текущего дня на следующий. Это уникальное свойство Марковского процесса – он делает это без использования памяти. Как правило, такой подход не способен создать последовательность, в которой бы наблюдалась какая-либо тенденция. Например, в то время как цепь Маркова способна сымитировать стиль письма, основанный на частоте использования какого-то слова, она не способна создать тексты с глубоким смыслом, так как она может работать только с большими текстами. Именно поэтому цепь Маркова не может производить контент, зависящий от контекста.
Модель
Формально, цепь Маркова – это вероятностный автомат. Распределение вероятностей переходов обычно представляется в виде матрицы. Если цепь Маркова имеет N возможных состояний, то матрица будет иметь вид N x N, в которой запись (I, J) будет являться вероятностью перехода из состояния I в состояние J. Кроме того, такая матрица должна быть стохастической, то есть строки или столбцы в сумме должны давать единицу. В такой матрице каждая строка будет иметь собственное распределение вероятностей.
Общий вид цепи Маркова с состояниями в виде окружностей и ребрами в виде переходов.
Примерная матрица перехода с тремя возможными состояниями.
Цепь Маркова имеет начальный вектор состояния, представленный в виде матрицы N x 1. Он описывает распределения вероятностей начала в каждом из N возможных состояний. Запись I описывает вероятность начала цепи в состоянии I.
Этих двух структур вполне хватит для представления цепи Маркова.
Мы уже обсудили, как получить вероятность перехода из одного состояния в другое, но что насчет получения этой вероятности за несколько шагов? Для этого нам необходимо определить вероятность перехода из состояния I в состояние J за M шагов. На самом деле это очень просто. Матрицу перехода P можно определить вычислением (I, J) с помощью возведения P в степень M. Для малых значений M это можно делать вручную, с помощью повторного умножения. Но для больших значений M, если вы знакомы с линейной алгеброй, более эффективным способом возведения матрицы в степень будет сначала диагонализировать эту матрицу.
Цепь Маркова: заключение
Теперь, зная, что из себя представляет цепь Маркова, вы можете легко реализовать её на одном из языков программирования. Простые цепи Маркова являются фундаментом для изучения более сложных методов моделирования.
