Расчет т критерия стьюдента пример. Парный t-критерий стьюдента - метод оценки значимости различий повторных измерений

где f – степень свободы, которая определяется как

Пример . Две группы студентов обучались по двум различным методикам. В конце обучения с ними был проведен тест по всему курсу. Необходимо оценить, насколько существенны различия в полученных знаниях. Результаты тестирования представлены в таблице 4.

Таблица 4

Рассчитаем выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение:

Определим значение t p по формуле t p = 0,45

По таблице 1 (см. приложение) находим критическое значение t k для уровня значимости р = 0,01

Вывод: так как расчетное значение критерия меньше критического 0,45<2,88 гипотеза Но подтверждается и существенных различий в методиках обучения нет на уровне значимости 0,01.

Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для зависимых выборок измерений

1. Определить расчетное значение t-критерия по формуле

, где

3. Определить критическое значение t-критерия по таблице 1 приложения.

4. Сравнить расчетное и критическое значение t-критерия. Если расчетное значение больше или равно критическому, то гипотеза равенства средних значений в двух выборках изменений отвергается (Но). Во всех других случаях она принимается на заданном уровне значимости.

U - критерий Манна - Уитни

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя непараметрическими выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n < 30.

Описание критерия

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

НО: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

HI: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни (u)

Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 – другим, например, синим.

Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

где n 1 – количество испытуемых в выборке 1;

n 2 – количество испытуемых в выборке 2,

Т х – большая из двух рантовых сумм;

n х – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по таблице 2 (см. приложение).

Если U эмп.> U кр0,05 , то гипотеза Но принимается. Если U эмп.≤ U кр, то отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Пример. Сравнить эффективность двух методов обучения в двух группах. Результаты испытаний представлены в таблице 5.

Таблица 5

Перенесем все данные в другую таблицу, выделив данные второй группы подчеркиванием и сделаем ранжирование общей выборки (см. алгоритм ранжирования в методических указаниях к заданию 3).

Найдем сумму рангов двух выборок и выберем большую из них: Т х = 113

Рассчитаем эмпирическое значение критерия по формуле 2: U p = 30.

Определим по таблице 2 приложения критическое значение критерия при уровне значимости р = 0.05: U k = 19.

Вывод: так как расчетное значение критерия U больше критического при уровне значимости р = 0.05 и 30 > 19, то гипотеза о равенстве средних принимается и различия в методиках обучения несущественны .

Чаще всего в психологическом исследовании наблюдается задачи на выявление различий между двумя или более группами признаков. Выяснение таких различий на уровне средних арифметических рассмотрено в процедуре анализа первичных статистик. Однако возникает вопрос, насколько эти различия достоверны и можно ли их распространить (экстраполировать) на всю популяцию. Для решения этой задачи чаще всего используют (при условии нормального или близкого к нормальному распределению) t - критерий (критерий Стьюдента), который предназначен для выяснения, насколько достоверно отличаются показатели одной выборки испытуемых от другой (например, когда исследуемые получают в результате тестирования одной группы высшие баллы, чем представители другой). Это параметрический критерий, имеет две основные формы:

1) несвязанный (нечетная) t - критерий, предназначенный для того, чтобы выяснить, есть ли различия между оценками, полученными при использовании одного и того же теста для тестирования двух групп, сформированных из разных людей. Например, это может быть сравнение уровня интеллекта или нервно-психической устойчивости, тревожности успевающих и неуспевающих учеников или сравнение по этим признакам учеников разных классов, возрастов, социальных уровней и тому подобное. Могут быть и разнополые, разнонациональные выборки, а также подвыборки в исследуемых выборках, выделены по определенному признаку. Критерий называют "несвязанный", потому что сравниваемые группы сформированы из разных людей;

2) связан (парный) t - критерий, применяемый для сравнения показателей двух групп, между элементами которых существует специфическая связь. Это означает, что каждому элементу первой группы соответствует элемент второй группы, похожий на него по определенным параметром интересующей исследователя. Чаще всего сравнивают параметры одних и тех же лиц до и после определенного события или действия (например, в процессе проведения лонгитюдного исследования или формирующего эксперимента). Поэтому этот критерий используют для сравнения показателей одних и тех же лиц до и после обследования, эксперимента или истечении определенного времени.

Если данные не подлежат нормальному закону распределения, используют непараметрические критерии, эквивалентные t - критерия: критерий Манна - Уитни, эквивалентный нечетном t - критерия, и Двухвыборочный критерий Вилкоксона, эквивалентный парном t - критерия.

С помощью t - критериев и их непараметрических эквивалентов можно только сравнивать результаты двух групп, полученные с использованием одного и того же теста. Однако в некоторых случаях возникает необходимость сравнения нескольких групп или оценок нескольких видов. Это можно сделать поэтапно, разбив задачу на несколько пар сравнений (например, если надо сравнить группы А, Б и Y по результатам тестов X и Y, то можно с помощью t - критерия сначала сравнить группы А и Б по результатам теста X, затем А и Б по результатам теста В, А и В по результатам теста Х и т. д.). Однако это очень трудоемкий метод, поэтому прибегают к более сложному методу дисперсионного анализа.

Метод оценки достоверности различий средних арифметических по достаточно эффективным параметрическим критерием Стьюдента предназначен для решения одной из задач, чаще всего наблюдаются при обработке данных - выявление достоверности различий между двумя или более рядами значений. Такая оценка часто необходимо при сравнительном анализе полярных групп. их выделяют на основе различной выраженности определенной целевой признаки (характеристики) изучаемого явления. Как правило, анализ начинают с подсчета первичных статистик выделенных групп ", затем оценивают достоверность различий. Критерий Стьюдента вычисляют по формуле:

Значение критерия Стьюдента для трех уровней доверительной (статистической) значимости (р) приводят в справочниках по матстатистику. Количество степеней свободы определяют по формуле:

С уменьшением объемов выборок (n <10) критерий Стьюдента становится чувствительным к форме распределения исследуемого признака в генеральной совокупности. Поэтому в сомнительных случаях рекомендуют использовать непараметрические методы или сравнивать полученные значения с критическими (табл. 2.17) для высшего уровня значимости.

Решение о достоверности различий принимают в том случае, если исчисленная величина t превышает табличное значение для определенного количества степеней свободы (d (v)). В публикациях или научных отчетах указывают высокий уровень значимости из трех: р <0,05; р <0,01; р <0,001.

При любом числового значения критерия достоверности различия между средними этот показатель оценивает не степень выявленной различия (ее оценивают по самой разницей между средними), а только его статистическую достоверность, то есть право распространять полученный на основе сопоставления выборок вывод о наличии разницы на все явление (весь процесс) в целом. Низкий исчисленный критерий отличия не может служить доказательством отсутствия различия между двумя признаками (явлениями), потому что его значимость (степень достоверности) зависит не только от величины средних, но и от количества сравниваемых выборок. Он указывает не на отсутствие различия, а на то, что при такой величины выборок она статистически недостоверная: очень большой шанс, что разница в этих условиях случайная, очень мала вероятность ее достоверности.

Таблица 2.17. Доверительные границы для критерия Стьюдента (t-критерий) для f степеней свободы

ния среднего времени выполнения задания во второй попытке (по сравнению с первой пробой) не является достоверным.

Это выражение не равносильно утверждению о статистической однородности двух выборок, которые сопоставляют. Кроме того, применение критерия Стьюдента в случае таких неодинаковых выборок не вполне корректное математически и, безусловно, сказывается на конечном итоге о недостоверности различий Хср = 9,1 и Хср = 8,5. Пользуясь этим критерием, оценивают не степень близости двух средних, а рассматривают отнесения или невод несения случайной (при заданном уровне значимости). .

Таблица распределения Стьюдента

Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из бесконечно большой генеральной совокупности. Но уже при (n ) < 100 получается Несоответствие между

табличными данными и вероятностью предела; при (n ) < 30 погрешность становится значительной. Несоответствие вызывается главным образом характером распределения единиц генеральной совокупности. При большом объеме выборки особенность распределения в гене-

ральной совокупности не имеет значения, так как распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормаль-

ным. В выборках небольшого объема (n ) < 30 характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводиться из со-

вокупности, имеющей нормальное распределение. Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале XX в. В

1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить (t ) и доверительную вероятность F(t ). При (n ) > 100, таблицы распределения Стьюдента дают те же результаты, что и таблицы интеграла вероятностей Лапласа, при 30 < (n ) <

100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).

Использование малых выборок в ряде случаев обусловлено характером обследуемой совокупности. Так, в селекционной работе «чистого» опыта легче добиться на небольшом числе

делянок. Производственный и экономический эксперимент, связанный с экономическими затратами, также проводится на небольшом числе испытаний. Как уже отмечалось, в случае малой выборки только для нормально распределенной генеральной совокупности могут быть рассчитаны и доверительные вероятности, и доверительные пределы генеральной средней.

Плотность вероятностей распределения Стьюдента описывается функцией.

t - текущая переменная;n - объем выборки;

B - величина, зависящая лишь от (n ).

Распределение Стьюдента имеет только один параметр: (d.f. ) -число степеней свободы (иногда обозначается (к )). Это распределение - как и нормальное, симметрично относительно точки (t ) = 0, но оно более пологое. При увеличении объема выборки, а, следовательно, и числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Число степеней свободы равно числу тех индивидуальных значений признаков, которыми нужно рас-

полагать для определения искомой характеристики. Так, для расчета дисперсии должна быть известна средняя величина. Поэтому при расчете дисперсии применяют (d.f. )= n - 1 .

Таблицы распределения Стьюдента публикуются в двух вариантах:

1. аналогично таблицам интеграла вероятностей приводятся значения ( t ) и соответствую-

щие вероятности F(t ) при разном числе степеней свободы;

2. значения (t ) приводятся для наиболее употребляемых доверительных вероятностей

0,70; 0,75; 0,80; 0,85; 0,90; 0,95 и 0,99 или для 1 - 0,70 = 0,3; 1 - 0,80 = 0,2; …… 1 - 0,99 = 0,01.

3. при разном числе степеней свободы. Такого рода таблица приведена в приложении

(Таблица 1 - 20 ), а также значение (t )- критерий Стьюдента при уровне значимости от0,7

В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение . В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства (гомоскедастичности) дисперсий .

При несоблюдении этих условий при сравнении выборочных средних должны использоваться аналогичные методы непараметрической статистики , среди которых наиболее известными являются U-критерий Манна - Уитни (в качестве двухвыборочного критерия для независимых выборок), а также критерий знаков и критерий Вилкоксона (используются в случаях зависимых выборок).

Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М 1 - средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М 2 - средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m 1 - средняя ошибка первой средней арифметической, m 2 - средняя ошибка второй средней арифметической.

Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n 1 и n 2). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

f = (n 1 + n 2) - 2

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже ).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

· Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.

· Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе - получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй - 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m ), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй - 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.

Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:

После выполнения расчетов, значение t-критерия оказалось равным 4,51. Находим число степеней свободы как (34 + 40) - 2 = 72. Сравниваем полученное значение t-критерия Стьюдента 4,51 с критическим при р=0,05 значением, указанным в таблице: 1,993. Так как рассчитанное значение критерия больше критического, делаем вывод о том, что наблюдаемые различия статистически значимы (уровень значимости р<0,05).

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

где случайные величины Х 1 и Х 2 независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы k 1 и k 2 соответственно. При этом пара (k 1 , k 2) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, k 1 – число степеней свободы числителя, а k 2 – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины F названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.

Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики.

Таблица критических значений Стьюдента.

Начало формы

Одним из наиболее известных статистических инструментов является критерий Стьюдента. Он используется для измерения статистической значимости различных парных величин. Microsoft Excel обладает специальной функцией для расчета данного показателя. Давайте узнаем, как рассчитать критерий Стьюдента в Экселе.

Но, для начала давайте все-таки выясним, что представляет собой критерий Стьюдента в общем. Данный показатель применяется для проверки равенства средних значений двух выборок. То есть, он определяет достоверность различий между двумя группами данных. При этом, для определения этого критерия используется целый набор методов. Показатель можно рассчитывать с учетом одностороннего или двухстороннего распределения.

Расчет показателя в Excel

Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как рассчитать данный показатель в Экселе. Его можно произвести через функцию СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ . В версиях Excel 2007 года и ранее она называлась ТТЕСТ . Впрочем, она была оставлена и в позднейших версиях в целях совместимости, но в них все-таки рекомендуется использовать более современную — СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ . Данную функцию можно использовать тремя способами, о которых подробно пойдет речь ниже.

Способ 1: Мастер функций

Проще всего производить вычисления данного показателя через Мастер функций.

Выполняется расчет, а результат выводится на экран в заранее выделенную ячейку.

Способ 2: работа со вкладкой «Формулы»

Функцию СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ можно вызвать также путем перехода во вкладку «Формулы» с помощью специальной кнопки на ленте.

Способ 3: ручной ввод

Формулу СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ также можно ввести вручную в любую ячейку на листе или в строку функций. Её синтаксический вид выглядит следующим образом:

СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ(Массив1;Массив2;Хвосты;Тип)

Что означает каждый из аргументов, было рассмотрено при разборе первого способа. Эти значения и следует подставлять в данную функцию.

После того, как данные введены, жмем кнопку Enter для вывода результата на экран.

Как видим, вычисляется критерий Стьюдента в Excel очень просто и быстро. Главное, пользователь, который проводит вычисления, должен понимать, что он собой представляет и какие вводимые данные за что отвечают. Непосредственный расчет программа выполняет сама.