Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Единичная система

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Единицы Десятки Сотни

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи . Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60 2 , 216000=60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной .

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Римская система

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);
2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);
3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

Введение

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине

подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде.

Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

1.История систем счисления

Единичная система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Рисунок 1 Запись числа древнеегипетской системой счисления

Обозначение цифр в непозиционной древнеегипетской системе счисления:

Рисунок 2 Единица

Рисунок 3 Десятки

Рисунок 4 Сотни

Рисунок 5 Тысячи

Рисунок 6 Десятки тысяч

Рисунок 7 Сотни тысяч

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская(шестидесятеричная) система счисления

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин (рисунок 8) служил для обозначения единиц, лежачий клин (рисунок 9) - для обозначения десятков.

Рисунок 8 Прямой клин

Рисунок 9 Лежачий клин

Таким образом, число 32 записывали так:

Рисунок 10 Запись числа 32 на вавилонской шестидесятеричной системе счисления

Число 60 снова обозначалось тем же знаком(рисунок 8) , что и 1. Этим же знаком обозначались числа 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Для определения значения числа нужно было изображение числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп одинаковых знаков ("цифр") соответствовало чередованию разрядов:

Рисунок 11 Разбивание на разряды числа

Значение числа определяли по значениям составляющих его "цифр", но с учетом того, что "цифры" в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же "цифр" в предыдущем разряде.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, так как не существовало "цифры" для обозначения нуля. Запись числа 92, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 и т.д. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ (рисунок 12) для обозначения, пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует в привычной нам десятичной системе появлению цифры 0 в записи числа. Но в конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.

Рисунок 12 Символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

Таким образом, число 3632 теперь нужно было записывать так:

Рисунок 13 Запись числа 3632

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Римская система счисления

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, может служить системы счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а также специальные знаки для обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000.

Обозначения для последних четырех чисел с течением времени претерпели значительные изменения. Ученые предполагают, что первоначально знак для числа 100 имел вид пучка из трех черточек наподобие русской буквы Ж, а для числа 50 вид верхней половинки этой буквы, которая в дальнейшем трансформировалась в знак L:

Рисунок 14 Трансформация числа 100

Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum сто, Demimille половина тысячи, Mille тысяча).

Чтобы записать число, римляне использовали не только сложение, но и вычитание ключевых чисел. При этом применялось следующее правило.

Значение каждого меньшего знака, поставленного слева от большего, вычитается из значения большего знака.

Например, запись IX обозначает число 9, а запись XI число 11. Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.

Десятичное число 99 имеет такое представление:

Рисунок 15 Число 99

То, что при записи новых чисел ключевые числа могут не только складываться, но и вычитаться, имеет существенный недостаток запись римскими цифрами лишает число единственности представления. Действительно, в соответствии с приведенным выше правилом, число 1995 можно записать, например, следующими способами:

MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,

MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5

MVM = 1000 + (1000 - 5),

MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) и так далее.

Единых правил записи римских чисел до сих пор нет, но существуют предложения о принятии для них международного стандарта.

В наши дни любую из римских цифр предлагается записывать в одном числе не более трех раз подряд. На основании этого построена таблицы, которой удобно пользоваться для обозначения чисел римскими цифрами:

Единицы	Десятки	Сотни	Тысячи
	10 X	100 C	1000 M
2 II	20 XX	200 CC	2000 MM
3 III	30 XXX	300 CCC	3000 MMM
4 IV	40 XL	400 CD
	50 L	500 D
6 VI	60 LX	600 DC
7 VII	70 LXX	700 DCC
8 VIII	80 LXXX	800 DCCC
9 IX	90 XC	900 CM

Таблица 1 Таблица римских цифр

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

В настоящее время римская система счисления не применяется, за некоторыми исключениями:

Обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975).
Обозначение порядковых числительных.
Обозначение производных небольших порядков, больших трёх: yIV, yV и т.д.
Обозначение валентности химических элементов.
- Славянская система счисления

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.

Единицы	Десятки	Сотни

Таблица 2 Славянская система счисления

Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор в православных церковных книгах используется эта нумерация.

Система счисления майя

Эта система использовалась для календарных расчетов. В быту майя использовали непозиционную систему сходную с древнеегипетской. Об этой системе дают представление сами цифры майя, которые можно трактовать как запись первых 19 натуральных чисел в пятеричной непозиционной системе счисления. Аналогичный принцип составных цифр использован в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.

Цифры майя состояли из нуля (знак ракушки) и 19 составных цифр. Эти цифры конструировались из знака единицы (точка) и знака пятёрки (горизонтальная черта). Например, цифра, обозначающая число 19, писалась как четыре точки в горизонтальном ряду над тремя горизонтальными линиями.

Рисунок 16 Система счисления майя

Числа свыше 19 писались согласно позиционному принципу снизу вверх по степеням 20. Например:

32 писалось как (1)(12) = 1×20 + 12

429 как (1)(1)(9) = 1×400 + 1×20 + 9

4805 как (12)(0)(5) = 12×400 + 0×20 + 5

Для записи цифр от 1 до 19 иногда также использовались изображения божеств. Такие цифры использовались крайне редко, сохранившись лишь на нескольких монументальных стелах.

Позиционная система счисления требует использования нуля для обозначения пустых разрядов. Первая дошедшая до нас дата с нулём (на стеле 2 в Чиапа-де Корсо, Чиапас) датирована 36 годом до н. э. Первая позиционная система счисления в Евразии, созданная в древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э., первоначально нуля не имела, а впоследствии знак нуля использовался только в промежуточных разрядах числа, что приводило к неоднозначной записи чисел. Непозиционные системы счисления древних народов нуля, как правило, не имели.

В «долгом счёте» календаря майя была использована разновидность 20-ричной системы счисления, в которой второй разряд мог содержать только цифры от 0 до 17, после чего к третьему разряду добавлялась единица. Таким образом, единица третьего разряда означала не 400, а 18×20 = 360, что близко к числу дней в солнечном году.

История арабских чисел

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия.

В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

История нуля

Нуль бывает разный. Во-первых, нуль это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?

Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью".

Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.

Нуль - это уникальный знак. Нуль это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!

Недостатки непозиционной системы счисления

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3.Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

2.Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

История двоичной системы счисления

В основу поисков инженеры и математики положили двоичную двухпозиционную - природу элементов вычислительной техники.

Возьмите, к примеру, двухполюсный электронный прибор - диод. Он может находиться только в двух состояниях: или проводит электрический ток - «открыт», или не проводит его - «заперт». А триггер? Он тоже имеет два устойчивых состояния. По такому же принципу работают запоминающие элементы.

Почему же не использовать тогда двоичную систему счисления? Ведь в ней только две цифры: 0 и 1. А это удобно для работы на электронной машине. И новые машины стали считать с помощью 0 и 1.

Не думайте, что двоичная система - современница электронных машин. Нет, она намного старше. Двоичным счислением люди интересуются давно. Особенно им увлекались с конца XVI до начала XIX века.

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» - так тогда называли двоичную систему - была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Формула 1 Количество информации в битах

Перевод из двоичной в десятичную систему счисления

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

10110110 2 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 182 10

В электронике устройство, осуществляющее похожее преобразование, называется дешифратором (декодером, англ. decoder).

Дешифратор это схема преобразующая двоичный код, подаваемый на входы, в сигнал на одном из выходов, то есть дешифратор расшифровывает число в двоичном коде, представляя его логической единицей на выходе, номер которого соответствует десятичному числу.

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Шестнад-

теричное

число

Двоичная

тетрада

Таблица 3 Таблица шестнадцатеричных цифр и двоичных тетрад

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления

Перевести двоичное число в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно:

Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов. Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева.
1. Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа из следующей таблицы.

Восьмеричное

число

Двоичная триада

Таблица 4 Таблица восьмеричных чисел и двоичных триад

3.Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления это позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе используется 8 цифр от нуля до семи (0,1,2,3,4,5,6,7).

Применение: восьмеричная система наряду с двоичной и шестнадцатеричной используется в цифровой электронике и компьютерной технике, однако в настоящее время применяется редко (ранее использовалась в низкоуровневом программировании, вытеснена шестнадцатеричной).

Широкое применение восьмеричной системы в электронной вычислительной технике объясняется тем, что для нее характерен легкий перевод в двоичную и обратно с помощью простой таблицы, в которой все цифры восьмеричной системы от 0 до 7 представлены в виде двоичных триплетов (Таблица 4).

История восьмеричной системы счисления

История: возникновение восьмеричной системы связывают с такой техникой счета на пальцах, когда считались не пальцы, а промежутки между ними (их всего восемь).

В 1716 году король Швеции Карл XII предложил известному шведскому философу Эмануэлю Сведенборгу разработать числовую систему, основанную на 64 вместо 10. Однако Сведенборг считал, что для людей с меньшим интеллектом, чем король, оперировать такой системой счисления будет слишком трудно и предложил в качестве основания число 8. Система была разработана, но смерть Карла XII в 1718 году помешала ввести ее как общепринятую, данная работа Сведенборга не опубликована.

Перевод из восьмеричной в десятичную систему счисления

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания восьмеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах восьмеричного числа. [ 24]

Например, требуется перевести восьмеричное число 2357 в десятичное. В этом числе 4 цифры и 4 разряда (разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 8:

23578 = (2·83)+(3·82)+(5·81)+(7·80) = 2·512 + 3·64 + 5·8 + 7·1 = 126310

Перевод из восьмеричной в двоичную систему счисления

Для перевода из восьмеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр триаду(Таблица 4).

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления

Для перевода из шестнадцатеричной в двоичную систему нужно каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр тетраду (Таблица 3).

3.Шестнадцатеричная система счисления

Позиционная система счисления по целочисленному основанию 16.

Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010 до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

История шестнадцатеричной системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. Минимальной адресуемой (пересылаемой между компонентами компьютера) единицей информации является байт, состоящий, как правило, из 8 бит (англ. bit binary digit двоичная цифра, цифра двоичной системы), а два байта, то есть 16 бит, составляют машинное слово (команду). Таким образом, для записи команд удобно использовать систему с основанием 16.

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной системы счисления двоичную крайне прост. Необходимо только заменить каждую цифру шестнадцатеричного числа ее эквивалентом в двоичной системе счисления (в случае положительных чисел). Отметим только, что каждое шестнадцатеричное число следует заменять двоичным, дополняя его до 4 разрядов (в сторону старших разрядов).

Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C 16 = (15·16 7 )+(4·16 6 )+(5·16 5 )+(14·16 4 )+(13·16 3 )+(2·16 2 )+(3·16 1 )+(12·16 0 ) = 4099854908 10

Перевод из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления

Обычно при переводе чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления вначале шестнадцатеричное число переводят в двоичное, затем разбивают его на триады, начиная с младшего бита, а потом заменяют триады соответствующими им эквивалентами в восьмеричной системе(Таблица 4).

Заключение

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски".

Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буквы, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

На данный момент мы используем разные системы счисления разных народов, не смотря на то, что десятичная система счисления имеет ряд преимуществ перед остальными.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления до сих используется в астрономии. Ее след сохранился до наших дней. Мы до сих пор измеряем время в шестидесяти секундах, в часах шестьдесят минут, также она применяется в геометрии для измерения углов.

Римская непозиционная система счисления используется нами для обозначения параграфов, разделов и в конечно же в химии.

В компьютерных технологиях используется двоичная система. Именно из-за использования всего двух чисел 0 и 1 она лежит в основе работы компьютера, так как у него два устойчивых состояния: низкое или высокое напряжение, есть ток или нет тока, намагничено или не намагничено.Для людей двоичная система счисления не удобна из-за громоздкости записи кода, но переводить числа из двоичную систему в десятичную и обратно не так уж и удобно, поэтому стали использовать восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Список рисунков

Список таблиц

Формулы

Список литературы и источников

Берман Н.Г. "Счет и число". ОГИЗ Гостехиздат Москва 1947 год.
Бругш Г. Все о Египте М:. Ассоциация Духовного Единения «Золотой Век», 2000. 627 с.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире М.: Наука, 1967.
Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. М., 1959. 456 с.
Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, 376 с.
Босова Л. Л. Информатика: Учебник для 6 класса
Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 2010
Всевозможные нумерации и системы счисления (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm )
Математический энциклопедический словарь. М.: «Сов. энциклопедия », 1988. С. 847
Талах В.Н., Куприенко С.А. Америка первоначальная. Источники по истории майя, наука (астеков) и инков
Талах В.М. Введение в иероглифическую письменность Майя
А.П.Юшкевич, История математики, Том 1, 1970
И. Я. Депман, История арифметики, 1965
Л.З.Шауцукова, "Основы информатики в вопросах и ответах", Издательский центр "Эль-Фа", Нальчик, 1994
А.Костинский, В.Губайловский, Триединый нуль (http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp )
2007-2014 "История компьютера" (http://chernykh.net/content/view/50/105/ )
Информатика. Базовый курс. / Под ред. С.В.Симоновича. - Спб., 2000 г.
Зарецкая И.Т., Колодяжный Б.Г., Гуржий А.Н., Соколов А.Ю. Информатика:Учебное пособие для 10 11 кл. средних общеобразовательных школ. К.: Форум, 2001. 496 с.
ГлавСправ 20092014(http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/ )
Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии. / Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр "Академия", Киев, - 2001 г.
Учебное пособие «Арифметические основы ЭВМ и систем». Часть 1. Системы счисления
О.Ефимова, В.Морозова, Н.Угринович «Курс компьютерной технологии»учебное пособие для старших классов
Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы.- М.:Энергоатомиздат, 1985
Майоров С.А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ, Л.: Машиностроение, 1988.
Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
Математическая энциклопедия. М: “Советская энциклопедия” 1985г.
Шауман А. М. Основы машинной арифметики. Ленинград, Издательство Ленинградского университета. 1979г.
Ворощук А. Н. Основы ЦВМ и программирования. М:”Наука” 1978г.
Ролич Ч. Н. От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981г.

Изучение древних систем счисления и решение задачи с их применением.

Исследовательская работа:

«Системы счисления древнего мира»

«Математика – царица наук» - гласит известная поговорка. Главной её частью естественно являются цифры. Сейчас в мире используется более или менее общая, хорошо сформированная система. Но что было 3, 4, 5 тыс. лет назад?

И поэтому нашей главной целью является дать ответы на следующие вопросы:

Какие государства имели более развитые системы счисления?
Какие системы они использовали?
Как развивались системы счисления?

Задачи: изучение материалов про системы счисления древности, решение современной задачи с использованием всех исследуемых систем.

Предмет исследования системы счисления древности.

Перед началом поиска информации мы определили следующие государства для изучения:

ØДревний Египет

ØВавилон

ØДревняя Греция

1.Древний Египет

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. Число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. Число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) И московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место демотическим системам записи. Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. Дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии

2.Вавилон

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшие, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

3.Древняя Греция

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символГ , первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символD , первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символH означал 100 (гекатон),X – 1000 (хилиои), символM – 10000 (мириои или мириада).

Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов цифр.

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов Римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символыI ,V ,X ,Q (илиЕ , илиД ) иf . Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел.

Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90.

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона. Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами.

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счислениявытесни

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и не удивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения впервые задавшегося вопросом «сколько?», тем более невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Моравии на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по 3 или по 5. Это были древнейшие системы записи чисел – системы счисления.

Системы счисления с древнейших времён до наших дней.

Древнейшая система записи чисел называется единичной, т. к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев не забыта и в наши дни. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте сколько полосок нашито на рукаве его мундира. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета.

Позже появилось много различных числовых систем, вот наиболее известные из них.

Около 3-2,5 тысяч лет до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. – изображались специальными значками-иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Ее цифры знакомы всем, хотя им уже около 2,5 тысячелетий. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг. Ну конечно же, речь идет о римской системе счисления.

Как читать римские цифры? Одно из правил записи римских чисел гласит: «если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей».

В наши дни любую из римских цифр запрещается записывать в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражение VIIII, XXXX и т. п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали, и число 1995 скорее всего записали бы так: MDCCCCLXXXXV.

Кроме египетской и римской к иероглифическим системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во 2-3 веках, западноевропейские историки впервые узнали о ее существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. В них, как в египетской и римской системах вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно с некоторыми повторениями.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Именно такой была греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Она сменила аттическую систему в 3 веке до н. э. вместе с христианством и письменностью эта нумерация пришла к славянам – сначала к южным, потом и к восточным.

Похожие системы счисления, в которых буквы алфавиты по совместительству «подрабатывали» цифрами, использовались в старину у арабов, евреев, грузин, армян.

Записи чисел в алфавитной нумерации получаются более короткими, чем в иероглифической. Но и у той и у другой системы представления чисел есть один весьма существенный недостаток: арифметические действия над такими числами – занятие весьма трудоемкое. Этого неудобства нет у позионных систем. Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в 3 тысячелетии до н. эй. в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеры. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Шестидесятеричная система широко применялась в астрономических расчетах вплоть до эпохи Возрождения.

Индейский народ майя, обитавший на территории Центральной Америки, в начале новой эры представлял числа примерно так, как и древние шумеры. Майя изобрели похожую числовую систему, но с другими основаниями – пятеричную-двадцатиричную.

Древнейшая известная запись в позиционной десятичной системе обнаружена в Индии и датируется 595 годом. Появление хорошо знакомого нам нуля было подготовлено системами счисления, издавна применявшимися не только в Индии, но и в Древнем Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч использовались одни и те же символы, но дополнительно помечалось, в каком разряде они стоят. Постепенно заметили, что даже если не указывать имена разрядов, то число все ровно можно прочитать, т. к. у каждого разряда есть свое «посадочное место» – позиция. А если позиция пустая, то ее нужно пометить специальным значком – нулем. В поздних вавилонских текстах стал появляться такой знак, однако в конце числа его никогда не ставили. Лишь в Индии в 9 веке нуль окончательно занял свое место в нумерации, которая распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке- арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название – «арабская».

В десятичной системе всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность» и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления.

Позиционная система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной позиционной системой счисления. Чтобы различить числа, записанные в разных системах счисления, их заключают в скобки, а внизу справа указывают основание системы счисления. Например, запись (1100)2 означает то же самое число, что и запись (12)10. Поскольку все мы пользуемся десятичной системой счисления, то десятичное основание обычно не указывается: (1100)2=12.

Двоичная система счисления стала одним из истоков произошедшей в 20 веке грандиозной компьютерной революции. Технически две цифры воспроизвести просто: один – проходит ток в полупроводниковом элементе, ноль – ток не проходит. Состояния элемента «проходит ток» и «не проходит ток» могут сменять друг друга за очень короткие промежутки времени – миллионные доли секунды. Это позволяет производить арифметические действия над двоичными цифрами с неимоверной скоростью.

По сравнению с громоздкими таблицами умножения и сложения в десятичной системе, таблицы умножения и сложения двоичных чисел миниатюрны.

Операции простейшие, и компьютер выполняет их безупречно. Но иногда в машине происходит какой-нибудь сбой или программа-задание компьютеру на выполнение расчетов - содержит ошибку. Тогда программистам приходится перепроверять себя и компьютер, поэтому без знания всей компьютерной кухни, «стряпающей» двоичные числа, хорошему специалисту никак не обойтись.

К недостаткам двоичной системы можно отнести только «длинную» запись чисел (чем меньше в системе цифр, тем длинее будет запись числа). Перевод в двоичную систему вряд ли удастся выполнить в уме, поэтому стали использовать системы, родственные двоичной системе счисления, в которых запись числа на бумаге короче, чем в двоичной, а алгоритмы перевода не требуют сложных вычислений.

В восьмеричной системе 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записанная в младшем разряде означает – как и в десятичном числе просто единицу, а в следующем разряде она означает 8, в следующем – 64 и т. д.

Запись числа в восьмеричной системе достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. Для первых десяти цифр используются привычные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных шести цифр – первые буквы латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Как и в восьмеричной системе, цифра 1, записанная в младшем разряде, означает единицу. В следующем разряде та же цифра 1 означает 16, в следующем – 256 и т. д. цифра F, записанная в младшем разряде, означает 15, в следующем разряде – 15∙16 и т. д.

Таким образом, в современных информационных технологиях при создании программного обеспечения в основном используется двоичная система счисления, так как компьютеру легче оперировать большим числом простых элементов, чем небольшим числом сложных.

Заключение

В современной действительности люди используют многие системы счисления. Иногда мы даже сами не замечаем, что, например, мы пользуемся шестидесятеричной системой в часах, двенадцатеричной в календаре и т. д. Мы не замечаем их вокруг себя, но ведь без них мы уже не мыслим жизни. История отсортировала эти системы, и некоторые из них бесследно исчезли, но зато сейчас разные системы там, где их использовать удобнее. Например, человеку легче воспринимать короткие десятичные числа, а компьютеру удобнее работать с большим количеством простых сигналов в двоичных числах. За долгое время раскрылись преимущества и недостатки разных систем счисления, и сейчас они используются как раз там, где нужно.

Агуреева Екатерина

без знания прошлого, тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.«Все есть число», говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле в различных областях, с количественными характеристиками объектов окружающего мира (возраст, вес, рост человека, численность населения, запасы полезных ископаемых, площади и т.д.).

Число – одно из основных понятий, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа находят широкое применение в физике, механике, астрономии, химии, информатике и многих других наук. Данная тема актуальна в современном обществе, так какчисло является одним из немногих понятий, которое развивается с развитием общества.

Цель исследования: изучение чисел в разных культурах, ознакомление с системами счисления.

Задачи исследования:

· изучить историю возникновения чисел и символику;

· актуализировать подходы к представлению числовой информации;

· систематизировать и расширить знания о числе;

· показать взаимосвязь истории математики, истории развития общества в рассмотрении понятии числа;

· исследовать осведомленность одноклассников о многообразии чисел.

Объекты исследования: исторические процессы развития общества и математики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Министерство образования Саратовской области

Муниципальное автономное общеобразовательное

учреждение «Лицей № 37»

Фрунзенского района г. Саратова

«История чисел и систем счисления».

Творческая работа

ученицы МАОУ «Лицей № 37»

Агуреевой Екатерины

Сергеевны

Научный руководитель

Ручина Марина Юрьевна

Саратов, 2012 г.

Введение………………………………………………………………………..4

1. Развитие представления о понятии «число»…………………………………6

2. Появление цифр………………………....……………………………………..8

3. Непозиционные системы счисления………………………………………....10

3.1. Обозначение чисел и счет в Древнем Египте…………………………..11

3.2. Римская система счисления……………………………………………...12

3.3. Алфавитные системы счисления……………………………………......14

4. Позиционные системы счисления…………………………………………..17

4.1. Вавилонская система счисления………………………………………..18

4.2. Древнекитайская десятеричная система счисления…………………...19

4.3. История «арабских» чисел……………………………………………....20

4.3.1 Двоичная система счисления………………………………………...21

4.3.2 Пятеричная система счисления ……………………………………..22

4.3.3 Десятичная система счисления……………………………………...23

4.3.4 Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления…………..24

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Приложение 1 …………………………………………………………………....27

Приложение 2…………………………………………………………………….28

Введение.

Кто хочет ограничиться настоящим,

Без знания прошлого,

Тот никогда его не поймет…

Г.В.Лейбниц

Можно ли представить себе мир без чисел? На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся и даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Поэтому целью данной работы является исследование истории возникновения чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками.

Пересчитывая предметы, мы даем этому множеству количественную характеристику, даже не задумываясь о том, что и в далекие времена наши предки могли считать или, во всяком случае, могли определить количество предметов. Мы живем среди чисел. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. При помощи чисел производятся измерения, сравнения, вычисления, рисование, проектирование, даже можно делать умозаключения, выводы. Число - важнейшее понятие математики. Понятие «число» является ключевым как для математики, так и для информатики. Потребовалось несколько тысячелетий, чтобы это понятие приобрело форму, которая в настоящий момент признается удовлетворительной подавляющим большинством математиков.

Так, первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов.

Практически ежедневно мы сталкиваемся с необходимостью обработки числовой информации, что влечет за собой необходимость создания и усовершенствования вычислительных устройств, благодаря которым обрабатывается огромное количество данных за наименьшее время. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры, поскольку они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0). Такое представление информации называется двоичным или цифровым кодированием. Способы цифрового кодирования текстов, звуков, изображений, а также трехмерных объектов были придуманы в 80-х годах прошлого века.

Цифры, знаки обозначения арифметических действий и другие математические символы вырабатывались людьми постепенно на протяжении веков. Большинство их образовалось из рисунков, чертежей, букв и сокращённых слов.

Согласно учению Пифагора, числа являются мистической сущностью вещей, математические абстракции таинственно руководят миром, устанавливая в нем определенный порядок. Пифагорейцы высказывали предположение о том, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел. Числа признавались не просто выражениями закономерного порядка, но и основой материального мира.

1. Развитие представления о понятии "число".

Еще в глубокой древности числа относились к области тайного. Они зашифровывались символами, и считались символами гармонии мира. Существует много теорий о происхождении чисел.

Пифагорейцы считали, что числа принадлежат к миру принципов, лежащих в основе мира вещей. Пифагор говорил: «Все вещи можно представить в виде чисел».

Аристотель называл число «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием».

Древние египтяне были убеждены, что постижение священной науки чисел составляет одну из высших ступеней герметического действия, без него не может быть посвящения.

У китайцев нечетные числа – это Ян (небо – благоприятность), четные числа – инь (земля, изменчивость и неблагоприятность). Нечетность символизирует незавершенность, непрекращающийся процесс, постоянное продолжение, то есть все то, что не имеет конца, относятся к области вечного. Поэтому в орнаментах, в укрощениях архитектурных или скульптурных сооружений используется обычно нечетное число черт или элементов. Числа – символ порядка. Реки, деревья и горы представляют собой материализованные числа.

Люди научились считать еще в каменном веке. На первых этапах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т.п. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предмета другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». Знания постепенно росли, и чем дальше, тем больше увеличилась потребность в умении считать и мерить.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства.

То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов. У некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два», а все числа больше двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных: число 3 – это «два и один», 4 – «два и два», 5 – «два, два, один».

Жизнь заставляла племена учиться быстрее, поэтому у земледельческих народов математика из наборов отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.

2. Появление цифр.

Цифры – это знаки, с помощью которых записывают числа. Система счисления или нумерация – это способ записи чисел с помощью цифр.

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда впоследствии и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» в переводе с латинского означает «камень».

Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек. Для того чтобы два человека могли точно сохранить некоторую числовую информацию, они брали деревянную бирку, делали на ней нужное число зарубок, а потом раскладывали бирку пополам. Каждый уносил свою половинку и хранил ее. Этот прием позволял избегать «подделки документов», так как при возникновении спорной ситуации половинки можно было сложить и сравнить совпадение и число зарубок.

Такая система записи чисел называется единичной (унарной ), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, того не осознавая, этим кодом активно пользуются малыши, показывая на пальцах вой возраст. Именно унарная система является фундаментом арифметики и до сих пор вводит учащихся в мир счета.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел, так как их записывать утомительно и записи при этом получаются очень длинными.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. Когда накапливалось по несколько метров веревочной «счетной книги», достаточно сложно было вспомнить через год, что означают 4 узелочка. Людей, завязывающих узелки, называли вспоминателями.

Так же, в качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами только одной рукой.

Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг, т.е. имели в распоряжении двенадцать объектов счета. Так возникла дюжина, которая была широко распространена и в Европе, и в России, но постепенно уступила свое место десятке. До сих пор в Европе дюжинами считают пуговицы, носовые платки, куриные яйца и многое другое, что продается поштучно.

С течением времени возникли иные, более экономичные системы счисления. Впоследствии, люди пришли к разумному решению: записывать числа по разрядам, а точнее, отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

3. Непозиционные системы счисления.

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

непозиционной , если в ней количественные значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

В непозиционных системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение – add. Поэтому другое название этих систем - аддитивные .

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков :

1. существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;

2. невозможно представлять дробные и отрицательные числа;

3. сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков была счетная доска - абак. Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

3.1. Обозначение чисел и счет в Древнем Египте.

Система счисления Древнего Египта является непозиционной . Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10,100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы.

100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила; - 1000 это изображение лотоса; - 10 000 "в больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец; - 100 000 это головастик; - 1 000 000 человек с поднятыми вверх руками; - 10 000 000 египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца.

С течением времени эти знаки изменились и приобрели более простой вид. Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы:

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая наименьшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду . Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел и в результате расчеты выглядели довольно громоздко.

3.2. Римская система счисления.

Примером непозиционной системы счисления, которая сохранилась до наших дней, служит система счисления, применявшаяся более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах и т.д.

С течением времени облик римских цифр видоизменился, неизменными остались I, V, Х. Ученые предполагают, что первоначально иероглиф для числа 100 имел вид пучка трёх черточек на подобие русской буквы Ж , а уже впоследствии 100 стали обозначать буквой С (от начальной буквы латинского слова centum – «сто») , а для числа 50 – вид верхней половинки этой буквы., которая в дальнейшем трансформировалась в знак L. Для обозначении чисел 500 и 1000 стали применяться первые буквы соответствующих латинских слов (demimille – «половина тысячи», «пятьсот», mille – «тысяча»).

ЕДИНИЦЫ		ДЕСЯТКИ		СОТНИ		ТЫСЯЧИ
						1000
						2000
						3000




	VIII		LXXX		DCCC

Одно из правил записи римских чисел гласит: «Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей». Например: VII=5+1+1=7; IX=10-1=9

Если проанализировать множество старинных и современных надписей римскими цифрами, то можно убедиться, что авторы придерживались каких-то негласных правил. Но единых и четких принципов записи римских чисел до сих пор так и не выработано.

Римская система нумерации десятичная, но непозиционная.

3.3. Алфавитные системы счисления.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Примером такой системы являлась греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Так, в Древней Греции числа 1,2,….9 обозначали первыми девятью буквами греческого алфавита: ά (Альфа) = 1, β (Бета) = 2, γ (Гамма) = 3 и т.д.. Для обозначения десятков применялись следующие девять букв, для сотен последние 9 букв. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.

Алфавитной нумерацией пользовались также южные и восточные славянские народы. У одних числовые значения букв устанавливались в порядке славянского алфавита, у других (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок ~ («титло»). При этом, числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иным).

В России славянская нумерация сохранялась до конца XVII века.

При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Первые девять чисел записывались так:

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, напри мер, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение.

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но слева внизу у них ставился специальный знак.

1000 - 2000 - 7000

Десятки тысяч назывались «тьмами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками:

10000 - 20000 - 50000

Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из точек. Например, числа 100 000 и 200 00 обозначались так:

100000 - 200000

Миллионы назывались «леордами», их обозначали, обводя знаки единиц кружочками из лучей запятых.

или - 1000000

Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны знака единиц букву «К». Например, числа 10 000 000 или 20 000 000 обозначались так:

10000000

Сотни миллионов назывались «колодами». Для их обозначения над и под буквой, обозначающей единицы, ставились квадратные скобки. Например, числа 100 000 000 записывались в виде:

При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельно сти (счете, торговле и т.д.) часто вместо кружков ставили знаки «; Л» перед буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч, например, запись означает соответственно 500044 и 540004.

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше ты сяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходив ший до числа 10 50 .

4. Позиционные системы счисления.

Рассмотренные нами иероглифические и алфавитные системы счисления имели существенный недостаток – в них было очень трудно выполнять арифметические операции. Этого неудобства нет у позиционных систем.

Система счисления называется позиционной , если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.

Рассмотрим на примере, число 3333 – три тысячи триста тридцать три. Здесь каждая цифра «3» в зависимости от того, в каком месте находиться обозначает свое число. Первая тройка слева, это три тысячи, вторая, три сотни, третья – три десятка, четвертая – три единицы. Т.е. это позиционная система. В таких же системах значение каждой цифры, зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Число 3333 можно представить в таком виде 3*1000 + 3*100 + 3*10 + 3. Т.е. для представления этого числа используется умножение (по-английски multiplication), отсюда название этой системы – мультипликативная .

Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827 г.г.) такими словами оценил «открытие» позиционной системы счисления: «Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна…».

Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

4.1. Вавилонская система счисления.

Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в III тысячелетии до нашей эры в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеров. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

До нас дошли сотни тысяч обожженных глиняных табличек с письменами древних вавилонян. Простейшими цифрами в их системе служили два знака: вертикальный клин для обозначения 1 и горизонтальный клин для 10. Числа от 1 до 59 записывались с помощью этих двух знаков, как в обычной иероглифической системе.

Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:    Число 60 снова обозначалось знаком  , например число 92 записывали так: 

Был у вавиловян и знак, игравший роль нуля, им обозначали отсутствие промежуточных разрядов, но при этом отсутствие младших разрядов не обозначалось никак. Так, число  могло обозначать и 3 и 180 = 3*60 и 10 800 = 3*60*60. Различать такие числа можно было только по смыслу. Отголоски этой системы проявляются в обыкновении делить час на 60 мин, 1 мин на 60 секунд, полный угол на 360 градусов.

4.2. Древнекитайская десятеричная система счисления.

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Например:

5 * 100 + 4 * 10 + 8 = 548

Эта мультипликативная запись, так как в ней используется умножение. Она десятичная, в ней есть знак нуля, кроме этого она позиционная. Т.е. она почти соответствует «арабской» системе счисления.

4.3. История «арабских» чисел.

История привычных «арабских» чисел запутана и возникла благодаря древним астрономам, их точным расчетам. Примерно во II веке до н.э. греческие астрономы познакомились с наблюдениями вавилонян, переняли их позиционную систему счисления. Целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации. Для обозначения нуля использовали первую букву греческого слова Ouden - ничто. Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией, переняв шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль, соединили греческую нумерацию с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Арабы, в свою очередь первыми оценили, усвоили и перенесли ее в Европу, упростили знаки, и они приобрели вид , получив название арабской . В XII веке нашей эры она распространилась по всей Европе, так как была удобнее и проще. Слово «цифра» перешло к нам от арабов по наследству нуль или «пусто», называли «сифра». Сейчас цифрами называются все десять знаков для записи чисел.

Позиционных систем счисления достаточно много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, десятичная, двенадцатеричная, двадцатеричная, шестидесятеричная и т.д. и каждая имеет свою историю, рассмотрим некоторые из них.

Основание системы счисления – это число, на основе которого ведется счет.

Например, если основание системы счисления равно десяти, то минимальная счетная группа этой системы счисления равна 10, это значит, что, сосчитав какие-либо предметы до десяти, мы считаем снова с единицы, но при этом запоминаем число десятков. В нашей «арабской» системе основанием является число десять. Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на двух руках 10 пальцев. Происхождение двенадцатеричной системы тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев. Если двенадцать умножить на пять, то получим шестидесятеричную систему.

4.3.1 Двоичная система счисления.

Это основная система счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в технических устройствах. Так, для электронного хранения данных в памяти компьютера удобны две цифры 1 и 0, так как они требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» и «выключено».

Каждый символ представляется цепочкой из 8 нулей и единиц (всего существует 256 цепочек). Такое представление называется двоичным или цифровым кодированием .

Соответствие символов и кодов задается с помощью специальных кодовых таблиц.

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную:

Каждая последующая цифра в 2 раза больше предыдущей:

1 2 4 8 16 32 64 и т.д.

Пусть имеется число 1111012, его можно представить так:

111101 2 =1*1 + 0*2 + 1*4 + 1*8 + 1*16 + 1*32 = 61 10 , или каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, возвести в степень соответствующую положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код:

Данный способ основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0.

75 10 = 1001011 2

4.3.2 Пятеричная система счисления.

В качестве вычислительного инструмента у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

Индейцы племени майя в Америке считали пятерками: одна пятерка – единица следующего разряда, пять пятерок – новый разряд и т.д., соответственно они пользовались пальцами одной руки.

Рассмотрим пятеричную систему счисления:

0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44

Переведем число 34 из пятеричной систему счисления в десятичную: 34 5 = 3*5 1 + 4*5 0 = 15+4=19 10 и, наоборот, из десятичной в пятеричную:

19 10 = 34 5

4.3.3 Десятичная система счисления.

Система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, в которой производим все вычисления, на ней базируется метрическая система мер. Десятичной она называется, так как в ней используется десять различных знаков (цифры 0,1,2,3….9).

В десятичном числе 255 = 2*100+5*10+5*1 цифры «5», находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения – 5 десятков и 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию, ее «вес» изменится в 10 раз.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат таблицы умножения и сложения, а также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число, которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью нескольких цифр, находящихся на соседних позициях.

Перевод чисел из одной системы в другую осуществляется по аналогии с предыдущими системами.

Позиционный принцип и цифровое обозначение могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, кроме единицы.

4.3.4 Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления.

В восьмеричной системе счисления использовались цифры от 0 до 7. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой, считал ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как общегосударственную.

Широкое распространение имели элементы двенадцатеричной системы счисления и в Европе, и в России. Для счета использовались только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трех фаланг.

Число двенадцать (дюжина), также составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания общеупотребительной системы счисления, так как число 12 имеет больше делителей (2,3,4,6), чем 10 (2 и 5) , следовательно, в двенадцатеричной системе счисления более удобно производить расчеты, чем в десятичной. В XIX веке математики были за полный переход именно на эту систему, но перевес на сторону десятки возник из-за возможности счета по пальцам рук (десятками).

Дюжина прочно вошла в нашу жизнь. Например, в сутках две дюжины часов, час делится на пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на двенадцать дюймов, набор карандашей или фломастеров состоит из 6, 12 или 24 шт., столовые сервизы рассчитаны на 6 или 12 персон.

Заключение.

Изучая исторические процессы развития общества и математики, мы выяснили, что понятие числа прошло длинный исторический путь развития и наука о числах и действиях над ними необходима для прогрессивного развития человеческого общества. Числа составляют часть человеческого мышления и мы порой не отдаем себе отчета, насколько важны они в нашей жизни.

При исследовании истории возникновения чисел была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками. Эта зависимость повлияла на появление знаков-цифр, которые заменили другие не совсем удобные способы обозначения. Мы узнали о существовании различных теорий о происхождении чисел и пришли к выводу, что самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

В процессе исследования и с целью выявления осведомленности одноклассников о многообразии чисел нами было проведено анкетирование (Приложение 1, Приложение 2).

Список литературы:

Александров Э., Левшин В. «В лабиринте чисел».- М., 1997
Босова Л.Л. Информатика: учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 208 с.: ил.
Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г.
Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995 г.
Перельман Я.И. Занимательная математика: Е.: Издательство «Тезис», 1994 г.
Рыбников К.А. История математики. М.: Наука, 1994 г.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990 г.

Приложение 1

Анкета для учеников 5 класса

Что такое число?
Что такое цифры?
Что обозначало слово «цифра»? Откуда оно пришло к нам? Изменилось ли его значение со временем?
Почему нами используется десятичная система счисления?

Приложение 2

Проведя анкетирование в своем классе, после обработки данных, мы получили следующие результаты:

80 % - учащихся знают, что такое число;

100 % - что такое цифра;

40% - учащихся знают, что означало слово «цифра» и имеют представление об истории происхождения.

70 % - почему нами используется десятичная система счисления.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: