Глава 7.
Конкретные законы распределения случайных величин
Виды законов распределения дискретных случайных величин
Пусть дискретная случайная величина может принимать значения х 1 , х 2 , …, х n , … . Вероятности этих значений могут быть вычислены по различным формулам, например, при помощи основных теорем теории вероятностей, формулы Бернулли или по каким-то другим формулам. Для некоторых из этих формул закон распределения имеет свое название.
Наиболее часто встречающимися законами распределения дискретной случайной величины являются биномиальный, геометрический, гипергеометрический, закон распределения Пуассона.
Биномиальный закон распределения
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А . Вероятность появления этого события в каждом единичном испытании постоянна, не зависит от номера испытания и равна р =Р (А ). Отсюда вероятность не появления события А в каждом испытании также постоянна и равна q =1–р . Рассмотрим случайную величину Х равную числу появлений события А в n испытаниях. Очевидно, что значения этой величины равны
х 1 =0 – событие А в n испытаниях не появилось;
х 2 =1 – событие А в n испытаниях появилось один раз;
х 3 =2 – событие А в n испытаниях появилось два раза;
…………………………………………………………..
х n +1 = n – событие А в n испытаниях появилось все n раз.
Вероятности этих значений могут быть вычислены по формуле Бернулли (4.1):
где к =0, 1, 2, …, n .
Биномиальным законом распределения Х , равной числу успехов в n испытаниях Бернулли, с вероятностью успеха р .
Итак, дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если ее возможные значения 0, 1, 2, …, n , а соответствующие вероятности вычисляются по формуле (7.1).
Биномиальное распределение зависит от двух параметров р и n .
Ряд распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:
| Х | … | k | … | n | ||
| Р |  | … | … |  |
Пример 7.1 . Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Построить ее ряд распределения.
Решение. Возможными значениями случайной величины Х являются х 1 =0; х 2 =1; х 3 =2; х 4 =3. Найдем соответствующие вероятности, используя формулу Бернулли. Нетрудно показать, что применение этой формулы здесь вполне оправдано. Отметим, что вероятность не попадания в цель при одном выстреле будет равна 1-0,4=0,6. Получим
Ряд распределения имеет следующий вид:
| Х | ||||
| Р | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей равна 1. Сама случайная величина Х распределена по биномиальному закону. ■
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
При решении примера 6.5 было показано, что математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р , равно n ·р
В этом примере использовалась случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому решение примера 6.5, по сути является доказательством следующей теоремы.
Теорема 7.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа испытаний на вероятность "успеха", т.е. М (Х )= n ·р.
Теорема 7.2. Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равна произведению числа испытаний на вероятность "успеха" и на вероятность "неудачи", т.е. D (Х )= nрq.
Асимметрия и эксцесс случайной величины, распределенной по биномиальному закону, определяются по формулам
Эти формулы можно получить, воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов.
Биномиальный закон распределения лежит в основе многих реальных ситуаций. При больших значениях n биномиальное распределение может быть аппроксимировано с помощью других распределений, в частности с помощью распределения Пуассона.
Распределение Пуассона
Пусть имеется n испытаний Бернулли, при этом число испытаний n достаточно велико. Ранее было показано, что в этом случае (если к тому же вероятность р события А очень мала) для нахождения вероятности того, что событие А появиться т раз в испытаниях можно воспользоваться формулой Пуассона (4.9). Если случайная величина Х означает число появлений события А в n испытаниях Бернулли, то вероятность того, что Х примет значение k может быть вычислена по формуле
, (7.2)
где λ = nр .
Законом распределения Пуассона называется распределение дискретной случайной величины Х , для которой возможными значениями являются целые неотрицательные числа, а вероятности р т этих значений находятся по формуле (7.2).
Величина λ = nр называется параметром распределения Пуассона.
Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принимать бесконечное множество значений. Так как для этого распределения вероятность р появления события в каждом испытании мала, то это распределение иногда называют законом редких явлений.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид
| Х | … | т | … | ||||
| Р | … | … |
Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей второй строки равна 1. Для этого необходимо вспомнить, что функцию можно разложить в ряд Маклорена, который сходится для любого х . В данном случае имеем
. (7.3)
Как было отмечено, закон Пуассона в определенных предельных случаях заменяет биномиальный закон. В качестве примера можно привести случайную величину Х , значения которой равны количеству сбоев за определенный промежуток времени при многократном применении технического устройства. При этом предполагается, что это устройство высокой надежности, т.е. вероятность сбоя при одном применении очень мала.
Кроме таких предельных случаев, на практике встречаются случайные величины, распределенные по закону Пуассона, не связанные с биномиальным распределением. Например, распределение Пуассона часто используется тогда, когда имеют дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени (число поступлений вызовов на телефонную станцию в течение часа, число машин, прибывших на авто мойку в течение суток, число остановок станков в неделю и т.п.). Все эти события должны образовывать, так называемый поток событий, который является одним из основных понятий теории массового обслуживания. Параметр λ характеризует среднюю интенсивность потока событий.
Пример 7.2 . На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения для трех студентов данного факультета?
Решение . Так как число студентов n =500 достаточно велико и р – вероятность родится первого сентября любому из студентов равна , т.е. достаточно мала, то можно считать, что случайная величина Х – число студентов, родившихся первого сентября, распределена по закону Пуассона с параметром λ = np = =1,36986. Тогда, по формуле (7.2) получим
Теорема 7.3. Пусть случайная величинаХ распределена по закону Пуассона. Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны друг другу и равны значению параметра λ , т.е. M (X ) = D (X ) = λ = np .
Доказательство. По определению математического ожидания, используя формулу (7.3) и ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, получим
Прежде, чем найти дисперсию, найдем вначале математическое ожидание квадрата рассматриваемой случайной величины. Получаем
Отсюда, по определению дисперсии, получаем
Теорема доказана.
Применяя понятия начальных и центральных моментов, можно показать, что для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются по формулам
Нетрудно понять, что, так как по смысловому содержанию параметр λ = np положителен, то у случайной величины, распределенной по закону Пуассона, всегда положительны и асимметрия и эксцесс.
В настоящей и нескольких следующих заметках мы рассмотрим математические модели случайных событий. Математическая модель - это математическое выражение, представляющее случайную величину. Для дискретных случайных величин это математическое выражение известно под названием функция распределения.
Если задача позволяет явно записать математическое выражение, представляющее случайную величину, можно вычислить точную вероятность любого ее значения. В этом случае можно вычислить и перечислить все значения функции распределения. В деловых, социологических и медицинских приложениях встречаются разнообразные распределения случайных величин. Одним из наиболее полезных распределений является биномиальное.
Биномиальное распределение используется для моделирования ситуаций, характеризующихся следующими особенностями.
- Выборка состоит из фиксированного числа элементов n , представляющих собой исходы некоего испытания.
- Каждый элемент выборки принадлежит одной из двух взаимоисключающих категорий, исчерпывающих все выборочное пространство. Как правило, эти две категории называют успех и неудача.
- Вероятность успеха р является постоянной. Следовательно, вероятность неудачи равна 1 – р .
- Исход (т.е. удача или неудача) любого испытания не зависит от результата другого испытания. Чтобы гарантировать независимость исходов, элементы выборки, как правило, получают с помощью двух разных методов. Каждый элемент выборки случайным образом извлекается из бесконечной генеральной совокупности без возвращения или из конечной генеральной совокупности с возвращением.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Биномиальное распределение используется для оценки количества успехов в выборке, состоящей из n наблюдений. Рассмотрим в качестве примера оформление заказов. Чтобы сделать заказ клиенты компании Saxon Company могут воспользоваться интерактивной электронной формой и послать ее в компанию. Затем информационная система проверяет, нет ли в заказах ошибок, а также неполной или недостоверной информации. Любой заказ, вызывающий сомнения, помечается и включается в ежедневный отчет об исключительных ситуациях. Данные, собранные компанией, свидетельствуют, что вероятность ошибок в заказах равна 0,1. Компания хотела бы знать, какова вероятность обнаружить определенное количество ошибочных заказов в заданной выборке. Например, предположим, что клиенты заполнили четыре электронных формы. Какова вероятность, что все заказы окажутся безошибочными? Как вычислить эту вероятность? Под успехом будем понимать ошибку при заполнении формы, а все остальные исходы будем считать неудачей. Напомним, что нас интересует количество ошибочных заказов в заданной выборке.
Какие исходы мы можем наблюдать? Если выборка состоит из четырех заказов, ошибочными могут оказаться один, два, три или все четыре, кроме того, все они могут оказаться правильно заполненными. Может ли случайная величина, описывающая количество неправильно заполненных форм, принимать какое-либо иное значение? Это невозможно, поскольку количество неправильно заполненных форм не может превышать объем выборки n или быть отрицательным. Таким образом, случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону распределения, принимает значения от 0 до n .
Допустим, что в выборке из четырех заказов наблюдаются следующие исходы:
Какова вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, причем в указанной последовательности? Поскольку предварительные исследования показали, что вероятность ошибки при заполнении формы равна 0,10, вероятности указанных выше исходов вычисляются следующим образом:
Поскольку исходы не зависят друг от друга, вероятность указанной последовательности исходов равна: р*р*(1–р)*р = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Если же необходимо вычислить количество вариантов выбора X n элементов, следует воспользоваться формулой сочетаний (1):
где n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - факториал числа n , причем 0! = 1 и 1! = 1 по определению.
Это выражение часто обозначают как . Таким образом, если n = 4 и X = 3, количество последовательностей, состоящих из трех элементов, извлеченных из выборки, объем которой равен 4, определяется по следующей формуле:
Следовательно, вероятность обнаружить три ошибочных заказа вычисляется следующим образом:
(Количество возможных последовательностей) *
(вероятность конкретной последовательности) = 4 * 0,0009 = 0,0036
Аналогично можно вычислить вероятность того, что среди четырех заказов окажутся один или два ошибочных, а также вероятность того, что все заказы ошибочны или все верны. Однако при увеличении объема выборки n определить вероятность конкретной последовательности исходов становится труднее. В этом случае следует применить соответствующую математическую модель, описывающую биномиальное распределение количества вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей n элементов.
Биноминальное распределение
где Р(Х) - вероятность X успехов при заданных объеме выборки n и вероятности успеха р , X = 0, 1, … n .
Обратите внимание на то, что формула (2) представляет собой формализацию интуитивных выводов. Случайная величина X , подчиняющаяся биномиальному распределению, может принимать любое целое значение в диапазоне от 0 до n . Произведение р X (1 – р) n – X представляет собой вероятность конкретной последовательности, состоящей из X успехов в выборке, объем которой равен n . Величина определяет количество возможных комбинаций, состоящих из X успехов в n испытаниях. Следовательно, при заданном количестве испытаний n и вероятности успеха р вероятность последовательности, состоящей из X успехов, равна
Р(Х) = (количество возможных последовательностей) * (вероятность конкретной последовательности) =
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение формулы (2).
1. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными? Используя формулу (2), получаем, что вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, равна
2. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными? Как показано в предыдущем примере, вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, равна 0,0036. Чтобы вычислить вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех будут неправильно заполнены, необходимо сложить вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, и вероятность того, что среди четырех заполненных форм все окажутся ошибочными. Вероятность второго события равна
Таким образом, вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными, равна
Р(Х > 3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037
3. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм менее трех окажутся ошибочными? Вероятность этого события
Р(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Используя формулу (2), вычислим каждую из этих вероятностей:
Следовательно, Р(Х < 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.
Вероятность Р(Х < 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х> 3. Тогда Р(Х< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.
По мере увеличения объема выборки n вычисления, аналогичные проведенным в примере 3, становятся затруднительными. Чтобы избегать этих сложностей, многие биномиальные вероятности табулируют заранее. Некоторые из этих вероятностей приведены рис. 1. Например, чтобы получить вероятность, что Х = 2 при n = 4 и p = 0,1, следует извлечь из таблицы число, стоящее на пересечении строки Х = 2 и столбца р = 0,1.
Рис. 1. Биномиальная вероятность при n = 4, Х = 2 и р = 0,1
Биномиальное распределение можно вычислить с помощью функции Excel =БИНОМ.РАСП() (рис. 2), имеющей 4 параметра: число успехов – Х , число испытаний (или объем выборки) – n , вероятность успеха – р , параметр интегральная , принимающий значения ИСТИНА (в этом случае вычисляется вероятность не менее Х событий) или ЛОЖЬ (в этом случае вычисляется вероятность точно Х событий).
Рис. 2. Параметры функции =БИНОМ.РАСП()
Для вышеприведенных трех примеров расчеты приведены на рис. 3 (см. также Excel-файл). В каждом столбце приведено по одной формуле. Цифрами показаны ответы на примеры соответствующего номера).
Рис. 3. Расчет биноминального распределения в Excel для n = 4 и p = 0,1
Свойства биномиального распределения
Биномиальное распределение зависит от параметров n и р . Биномиальное распределение может быть, как симметричным, так и асимметричным. Если р = 0,05, биномиальное распределение является симметричным независимо от величины параметра n . Однако, если р ≠ 0,05, распределение становится асимметричным. Чем ближе значение параметра р к 0,05 и чем больше объем выборки n , тем слабее выражена асимметрия распределения. Таким образом, распределение количества неправильно заполненных форм смещено вправо, поскольку p = 0,1 (рис. 4).
Рис. 4. Гистограмма биномиального распределения при n = 4 и p = 0,1
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению объема выборки n на вероятность успеха р :
(3) Μ = Е(Х) = np
В среднем, при достаточно долгой серии испытаний в выборке, состоящей из четырех заказов, может оказаться р = Е(Х) = 4 х 0,1 = 0,4 неправильно заполненных форм.
Стандартное отклонение биномиального распределения
Например, стандартное отклонение количества неверно заполненных форм в бухгалтерской информационной системе равно:
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 307–313
Приветствую всех читателей!
Статистический анализ, как известно, занимается сбором и обработкой реальных данных. Дело полезное, а зачастую и выгодное, т.к. правильные выводы позволяют избежать ошибок и потерь в будущем, а иногда и правильно угадать это самое будущее. Собранные данные отражают состояние некоторого наблюдаемого явления. Данные часто (но не всегда) имеют числовой вид и с ними можно проделывать различные математические манипуляции, извлекая тем самым дополнительную информацию.
Однако не все явления измеряются в количественной шкале типа 1, 2, 3 … 100500 … Не всегда явление может принимать бесконечное или большое количество различных состояний. Например, пол у человека может быть либо М, либо Ж. Стрелок либо попадает в цель, либо не попадает. Голосовать можно либо «За», либо «Против» и т.д. и т.п. Другими словами, такие данные отражают состояние альтернативного признака – либо «да» (событие наступило), либо «нет» (событие не наступило). Наступившее событие (положительный исход) еще называют «успехом». Такие явления также могут носить массовый и случайный характер. Следовательно, их можно измерять и делать статистически обоснованные выводы.
Эксперименты с такими данными называются схемой Бернулли , в честь известного швейцарского математика, который установил, что при большом количестве испытаний соотношение положительных исходов и общего количества испытаний стремится к вероятности наступления этого события.
Переменная альтернативного признака
Для того, чтобы в анализе задействовать математический аппарат, результаты подобных наблюдений следует записать в числовом виде. Для этого положительному исходу присваивают число 1, отрицательному – 0. Другими словами, мы имеем дело с переменной, которая может принимать только два значения: 0 или 1.
Какую пользу отсюда можно извлечь? Вообще-то не меньшую, чем от обычных данных. Так, легко подсчитать количество положительных исходов – достаточно просуммировать все значения, т.е. все 1 (успехи). Можно пойти далее, но для этого потребуется ввести парочку обозначений.
Первым делом нужно отметить, что положительные исходы (которые равны 1) имеют некоторую вероятность появления. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты равно ½ или 0,5. Такая вероятность традиционно обозначается латинской буквой p . Следовательно, вероятность наступления альтернативного события равна 1 — p , которую еще обозначают через q , то есть q = 1 – p . Указанные обозначения можно наглядно систематизировать в виде таблички распределения переменной X .
Теперь у нас есть перечень возможных значений и их вероятности. Можно приступить к расчету таких замечательных характеристик случайной величины, как математическое ожидание и дисперсия . Напомню, что математическое ожидание рассчитывается, как сумма произведений всех возможных значений на соответствующие им вероятности:
Вычислим матожидание, используя обозначения в таблицы выше.
Получается, что математическое ожидание альтернативного признака равно вероятности этого события – p .
Теперь определим, что такое дисперсия альтернативного признака. Также напомню, что дисперсия – есть средний квадрат отклонений от математического ожидания. Общая формула (для дискретных данных) имеет вид:
Отсюда дисперсия альтернативного признака:
Нетрудно заметить, что эта дисперсия имеет максимум 0,25 (при p=0,5) .
Среднее квадратическое отклонение – корень из дисперсии:
Максимальное значение не превышает 0,5.
Как видно, и математическое ожидание, и дисперсия альтернативного признака имеют очень компактный вид.
Биномиальное распределение случайной величины
Теперь рассмотрим ситуацию под другим углом. Действительно, кому интересно, что среднее выпадение орлов при одном бросании равно 0,5? Это даже невозможно представить. Интересней поставить вопрос о числе выпадения орлов при заданном количестве подбрасываний.
Другими словами, исследователя часто интересует вероятность наступления некоторого числа успешных событий. Это может быть количество бракованных изделий в проверяемой партии (1- бракованная, 0 — годная) или количество выздоровлений (1 – здоров, 0 – больной) и т.д. Количество таких «успехов» будет равно сумме всех значений переменной X , т.е. количеству единичных исходов.
Случайная величина B называется биномиальной и принимает значения от 0 до n (при B = 0 — все детали годные, при B = n – все детали бракованные). Предполагается, что все значения x независимы между собой. Рассмотрим основные характеристики биномиальной переменной, то есть установим ее математическое ожидание, дисперсию и распределение.
Матожидание биномиальной переменной получить очень легко. Вспомним, что есть сумма математических ожиданий каждой складываемой величины, а оно у всех одинаковое, поэтому:
Например, математическое ожидание количества выпавших орлов при 100 подбрасываниях равно 100 × 0,5 = 50.
Теперь выведем формулу дисперсии биномиальной переменной. есть сумма дисперсий. Отсюда
Среднее квадратическое отклонение, соответственно
Для 100 подбрасываний монеты среднеквадратическое отклонение равно
И, наконец, рассмотрим распределение биномиальной величины, т.е. вероятности того, что случайная величина B будет принимать различные значения k , где 0≤ k ≤n . Для монеты эта задача может звучать так: какова вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках?
Чтобы понять метод расчета, представим, что монета подбрасывается всего 4 раза. Каждый раз может выпасть любая из сторон. Мы задаемся вопросом: какова вероятность выпадения 2 орлов из 4 бросков. Каждый бросок независим друг от друга. Значит, вероятность выпадения какой-либо комбинации будет равна произведению вероятностей заданного исхода для каждого отдельного броска. Пусть О – это орел, Р – решка. Тогда, к примеру, одна из устраивающих нас комбинаций может выглядеть как ООРР, то есть:
Вероятность такой комбинации равняется произведению двух вероятностей выпадения орла и еще двух вероятностей не выпадения орла (обратное событие, рассчитываемое как 1 — p ), т.е. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Такова вероятность одной из устраивающих нас комбинации. Но вопрос ведь стоял об общем количестве орлов, а не о каком-то определенном порядке. Тогда нужно сложить вероятности всех комбинаций, в которых присутствует ровно 2 орла. Ясно, все они одинаковы (от перемены мест множителей произведение не меняется). Поэтому нужно вычислить их количество, а затем умножить на вероятность любой такой комбинации. Подсчитаем все варианты сочетаний из 4 бросков по 2 орла: РРОО, РОРО, РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР. Всего 6 вариантов.
Следовательно, искомая вероятность выпадения 2 орлов после 4 бросков равна 6×0,0625=0,375.
Однако подсчет подобным образом утомителен. Уже для 10 монет методом перебора получить общее количество вариантов будет очень трудно. Поэтому умные люди давно изобрели формулу, с помощью которой рассчитывают количество различных сочетаний из n элементов по k , где n – общее количество элементов, k – количество элементов, варианты расположения которых и подсчитываются. Формула сочетания из n элементов по k такова:
Подобные вещи проходят в разделе комбинаторики. Всех желающих подтянуть знания отправляю туда. Отсюда, кстати, и название биномиального распределения (формула выше является коэффициентом в разложении бинома Ньютона).
Формулу для определения вероятности легко обобщить на любое количество n и k . В итоге формула биномиального распределения имеет следующий вид.
Словами: количество подходящих под условие комбинаций умножить на вероятность одной из них.
Для практического использования достаточно просто знать формулу биномиального распределения. А можно даже и не знать – ниже показано, как определить вероятность с помощью Excel. Но лучше все-таки знать.
Рассчитаем по этой формуле вероятность выпадения 40 орлов при 100 бросках:
Или всего 1,08%. Для сравнения вероятность наступления математического ожидания этого эксперимента, то есть 50 орлов, равна 7,96%. Максимальная вероятность биномиальной величины принадлежит значению, соответствующему математическому ожиданию.
Расчет вероятностей биномиального распределения в Excel
Если использовать только бумагу и калькулятор, то расчеты по формуле биноминального распределения, несмотря на отсутствие интегралов, даются довольно тяжело. К примеру значение 100! – имеет более 150 знаков. Вручную рассчитать такое невозможно. Раньше, да и сейчас тоже, для вычисления подобных величин использовали приближенные формулы. В настоящий момент целесообразно использовать специальное ПО, типа MS Excel. Таким образом, любой пользователь (даже гуманитарий по образованию) вполне может вычислить вероятность значения биномиально распределенной случайной величины.
Для закрепления материала задействуем Excel пока в качестве обычного калькулятора, т.е. произведем поэтапное вычисление по формуле биномиального распределения. Рассчитаем, например, вероятность выпадения 50 орлов. Ниже приведена картинка с этапами вычислений и конечным результатом.
Как видно, промежуточные результаты имеют такой масштаб, что не помещаются в ячейку, хотя везде и используются простые функции типа: ФАКТР (вычисление факториала), СТЕПЕНЬ (возведение числа в степень), а также операторы умножения и деления. Более того, этот расчет довольно громоздок, во всяком случаен не является компактным, т.к. задействовано много ячеек. Да и разобраться с ходу трудновато.
В общем в Excel предусмотрена готовая функция для вычисления вероятностей биномиального распределения. Функция называется БИНОМ.РАСП.
Число успехов – количество успешных испытаний. У нас их 50.
Число испытаний – количество подбрасываний: 100 раз.
Вероятность успеха – вероятность выпадения орла при одном подбрасывании 0,5.
Интегральная – указывается либо 1, либо 0. Если 0, то рассчитается вероятность P(B=k) ; если 1, то рассчитается функция биномиального распределения, т.е. сумма всех вероятностей от B=0 до B=k включительно.
Нажимаем ОК и получаем тот же результат, что и выше, только все рассчиталось одной функцией.
Очень удобно. Эксперимента ради вместо последнего параметра 0 поставим 1. Получим 0,5398. Это значит, что при 100 подкидываниях монеты вероятность выпадения орлов в количестве от 0 до 50 равна почти 54%. А поначалу то казалось, что должно быть 50%. В общем, расчеты производятся легко и быстро.
Настоящий аналитик должен понимать, как ведет себя функция (каково ее распределение), поэтому произведем расчет вероятностей для всех значений от 0 до 100. То есть зададимся вопросом: какова вероятность, что не выпадет ни одного орла, что выпадет 1 орел, 2, 3, 50, 90 или 100. Расчет приведен в нижеследующей самодвигающейся картинке. Синяя линия – само биномиальное распределение, красная точка – вероятность для конкретного числа успехов k.
Кто-то может спросить, а не похоже ли биномиальное распределение на… Да, очень похоже. Еще Муавр (в 1733 г.) говорил, что биномиальное распределение при больших выборках приближается к (не знаю, как это тогда называлось), но его никто не слушал. Только Гаусс, а затем и Лаплас через 60-70 лет вновь открыли и тщательно изучили нормальной закон распределения. На графике выше отлично видно, что максимальная вероятность приходится на математическое ожидание, а по мере отклонения от него, резко снижается. Также, как и у нормального закона.
Биномиальное распределение имеет большое практическое значение, встречается довольно часто. С помощью Excel расчеты проводятся легко и быстро. Так что можно смело использовать.
На этом предлагаю распрощаться до следующей встречи. Всех благ, будьте здоровы!
Конечно, при вычислении кумулятивной функции распределения следует воспользоваться упомянутой связью биномиального и бета- распределения. Этот способ заведомо лучше непосредственного суммирования, когда n > 10.
В классических учебниках по статистике для получения значений биномиального распределения часто рекомендуют использовать формулы, основанные на предельных теоремах (типа формулы Муавра-Лапласа). Необходимо отметить, что с чисто вычислительной точки зрения ценность этих теорем близка к нулю, особенно сейчас, когда практически на каждом столе стоит мощный компьютер. Основной недостаток приведенных аппроксимаций – их совершенно недостаточная точность при значениях n, характерных для большинства приложений. Не меньшим недостатком является и отсутствие сколько-нибудь четких рекомендаций о применимости той или иной аппроксимации (в стандартных текстах приводятся лишь асимптотические формулировки, они не сопровождаются оценками точности и, следовательно, мало полезны). Я бы сказал, что обе формулы пригодны лишь при n < 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
Я не рассматриваю здесь задачу поиска квантилей: для дискретных распределений она тривиальна, а в тех задачах, где такие распределения возникают, она, как правило, и не актуальна. Если же квантили все-таки понадобятся, рекомендую так переформулировать задачу, чтобы работать с p-значениями (наблюденными значимостями). Вот пример: при реализации некоторых переборных алгоритмов на каждом шаге требуется проверять статистическую гипотезу о биномиальной случайной величине. Согласно классическому подходу на каждом шаге нужно вычислить статистику критерия и сравнить ее значение с границей критического множества. Поскольку, однако, алгоритм переборный, приходится определять границу критического множества каждый раз заново (ведь от шага к шагу объем выборки меняется), что непроизводительно увеличивает временные затраты. Современный подход рекомендует вычислять наблюденную значимость и сравнивать ее с доверительной вероятностью, экономя на поиске квантилей.
Поэтому в приводимых ниже кодах отсутствует вычисление обратной функции, взамен приведена функция rev_binomialDF , которая вычисляет вероятность p успеха в отдельном испытании по заданному количеству n испытаний, числу m успехов в них и значению y вероятности получить эти m успехов. При этом используется вышеупомянутая связь между биномиальным и бета распределениями.
Фактически, эта функция позволяет получать границы доверительных интервалов.
В самом деле, предположим, что в n
биномиальных испытаниях мы получили m
успехов. Как известно, левая граница двухстороннего доверительного интервала
для параметра p с доверительным уровнем
равна 0, если
m = 0, а для
является решением уравнения 
.
Аналогично, правая граница равна 1,
если m = n, а для
является решением уравнения 
.
Отсюда вытекает, что для поиска левой границы мы должны решать относительно
уравнение
,
а для поиска правой – уравнение
.
Они и решаются в функциях binom_leftCI и binom_rightCI ,
возвращающих верхнюю и нижнюю границы двустороннего доверительного интервала
соответственно.
Хочу заметить, что если не нужна совсем уж неимоверная точность, то
при достаточно больших n можно воспользоваться
следующей аппроксимацией [Б.Л. ван дер Варден, Математическая статистика.
М: ИЛ, 1960, гл. 2, разд. 7]:
,
где g – квантиль нормального распределения.
Ценность этой аппроксимации в том, что имеются очень простые приближения,
позволяющие вычислять квантили нормального распределения (см. текст о вычислении
нормального распределения и соответствующий раздел данного справочника).
В моей практике (в основном, при n > 100) эта аппроксимация давала примерно 3-4 знака, чего, как правило,
вполне достаточно.
Для вычислений с помощью нижеследующих кодов потребуются файлы betaDF.h , betaDF.cpp (см. раздел о бета-распределении), а также logGamma.h , logGamma.cpp (см. приложение А). Вы можете посмотреть также пример использования функций.
Файл binomialDF.h
| #ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(double trials, double successes, double p); /* * Пусть имеется "trials" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом. * Вычисляется вероятность B(successes|trials,p) того, что число * успехов заключено между 0 и "successes" (включительно). */ double rev_binomialDF(double trials, double successes, double y); /* * Пусть известна вероятность y наступления не менее m успехов * в trials испытаниях схемы Бернулли. Функция находит вероятность p * успеха в отдельном испытании. * * В вычислениях используется следующее соотношение * * 1 - p = rev_Beta(trials-successes| successes+1, y). */ double binom_leftCI(double trials, double successes, double level); /* Пусть имеется "trials" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "successes". * Вычисляется левая граница двустороннего доверительного интервала * с уровнем значимости level. */ double binom_rightCI(double n, double successes, double level); /* Пусть имеется "trials" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "successes". * Вычисляется правая граница двустороннего доверительного интервала * с уровнем значимости level. */ #endif /* Ends #ifndef __BINOMIAL_H__ */ |
Файл binomialDF.cpp
|
/***********************************************************/
/* Биномиальное распределение */
/***********************************************************/
#include |
Теория вероятности незримо присутствует в нашей жизни. Мы не обращаем на это внимания, но каждое событие в нашей жизни имеет ту или иную вероятность. Принимая во внимание огромное количество вариантов развития событий, нам становится необходимым определять наиболее вероятные и наименее вероятные из них. Наиболее удобно анализировать такие вероятностные данные графически. В этом нам может помочь распределение. Биномиальное - одно из самых лёгких и самых точных.
Прежде чем перейти непосредственно к математике и теории вероятности, разберёмся с тем, кто же первый придумал такой вид распределения и какова история развития математического аппарата для этого понятия.
История
Понятие вероятности известно ещё с древних времён. Однако древние математики не придавали ей особо значения и смогли заложить только основы для теории, ставшей впоследствии теорией вероятности. Они создали некоторые комбинаторные методы, которые сильно помогли тем, кто позже создал и развил саму теорию.
Во второй половине семнадцатого века началось формирование основных понятий и методов теории вероятности. Были введены определения случайных величин, способы вычисления вероятности простых и некоторых сложных независимых и зависимых событий. Продиктован такой интерес к случайным величинам и вероятностям был азартными играми: каждый человек хотел знать, какие у него шансы победить в игре.
Следующим этапом стало применение в теории вероятности методов математического анализа. Этим занялись видные математики, такие как Лаплас, Гаусс, Пуассон и Бернулли. Именно они продвинули эту область математики на новый уровень. Именно Джеймс Бернулли открыл биномиальный закон распределения. Кстати, как мы позже выясним, на основе этого открытия были сделаны ещё несколько, которые позволили создать закон нормального распределения и ещё множество других.
Сейчас, прежде чем начать описывать распределение биномиальное, мы немного освежим в памяти понятия теории вероятностей, наверняка уже забытые со школьной скамьи.
Основы теории вероятностей
Будем рассматривать такие системы, в результате действия которых возможны только два исхода: "успех" и "не успех". Это легко понять на примере: мы подбрасываем монетку, загадав то, что выпадет решка. Вероятности каждого из возможных событий (выпадет решка - "успех", выпадет орёл - "не успех") равны 50 процентам при идеальной балансировке монеты и отсутствии прочих факторов, которые могут повлиять на эксперимент.
Это было самое простое событие. Но бывают ещё и сложные системы, в которых выполняются последовательные действия, и вероятности исходов этих действий будут различаться. Например, рассмотрим такую систему: в коробке, содержимое которой мы не можем разглядеть, лежат шесть абсолютно одинаковых шариков, три пары синего, красного и белого цветов. Мы должны достать наугад несколько шариков. Соответственно, вытащив первым один из белых шариков, мы уменьшим в разы вероятность того, что следующим нам тоже попадётся белый шарик. Происходит это потому, что меняется количество объектов в системе.
В следующем разделе рассмотрим более сложные математические понятия, вплотную подводящие нас к тому, что означают слова "нормальное распределение", "биномиальное распределение" и тому подобные.
Элементы математической статистики
В статистике, которая является одной из областей применения теории вероятностей, существует множество примеров, когда данные для анализа даны не в явном виде. То есть не в численном, а в виде разделения по признакам, например, по половым. Для того чтобы применить к таким данным математический аппарат и сделать из полученных результатов какие-то выводы, требуется перевести исходные данные в числовой формат. Как правило, для осуществления этого положительному исходу присваивают значение 1, а отрицательному - 0. Таким образом, мы получаем статистические данные, которые можно подвергнуть анализу с помощью математических методов.
Следующий шаг в понимании того, что такое биномиальное распределение случайной величины, - это определение дисперсии случайной величины и математического ожидания. Об этом поговорим в следующем разделе.
Математическое ожидание
На самом деле понять то, что такое математическое ожидание, несложно. Рассмотрим систему, в которой существует много разных событий со своими различными вероятностями. Математическим ожиданием будет называться величина, равная сумме произведений значений этих событий (а математическом виде, о котором мы говорили в прошлом разделе) на вероятности их осуществления.
Математическое ожидание биномиального распределения рассчитывается по той же самой схеме: мы берём значение случайной величины, умножаем его на вероятность положительного исхода, а затем суммируем полученные данные для всех величин. Очень удобно представить эти данные графически - так лучше воспринимается разница между математическими ожиданиями разных величин.
В следующем разделе мы расскажем вам немного о другом понятии - дисперсии случайной величины. Оно тоже тесно связано с таким понятием, как биномиальное распределение вероятностей, и является его характеристикой.
Дисперсия биномиального распределения
Эта величина тесно связана с предыдущей и также характеризует распределение статистических данных. Она представляет собой средний квадрат отклонений значений от их математического ожидания. То есть дисперсия случайной величины - это сумма квадратов разностей между значением случайной величины и её математическим ожиданием, умноженная на вероятность этого события.
В общем, это всё, что нам нужно знать о дисперсии для понимания того, что такое биномиальное распределение вероятностей. Теперь перейдём непосредственно к нашей основной теме. А именно к тому, что же кроется за таким на вид достаточно сложным словосочетанием "биномиальный закон распределения".
Биномиальное распределение
Разберёмся для начала, почему же это распределение биномиальное. Оно происходит от слова "бином". Может быть, вы слышали о биноме Ньютона - такой формуле, с помощью которой можно разложить сумму двух любых чисел a и b в любой неотрицательной степени n.
Как вы, наверное, уже догадались, формула бинома Ньютона и формула биномиального распределения - это практически одинаковые формулы. За тем лишь исключением, что вторая имеет прикладное значение для конкретных величин, а первая - лишь общий математический инструмент, применения которого на практике могут быть различны.
Формулы распределения
Функция биномиального распределения может быть записана в виде суммы следующих членов:
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
Здесь n - число независимых случайных экспериментов, p- число удачных исходов, q- число неудачных исходов, k - номер эксперимента (может принимать значения от 0 до n),! - обозначение факториала, такой функции числа, значение которой равно произведению всех идущих до неё чисел (например, для числа 4: 4!=1*2*3*4=24).
Помимо этого, функция биномиального распределения может быть записана в виде неполной бета-функции. Однако это уже более сложное определение, которое используется только при решении сложных статистических задач.
Биномиальное распределение, примеры которого мы рассмотрели выше, - одно из самых простых видов распределений в теории вероятностей. Существует также нормальное распределение, являющееся одним из видов биномиального. Оно используется чаще всего, и наиболее просто в расчётах. Бывает также распределение Бернулли, распределение Пуассона, условное распределение. Все они характеризуют графически области вероятности того или иного процесса при разных условиях.
В следующем разделе рассмотрим аспекты, касающиеся применения этого математического аппарата в реальной жизни. На первый взгляд, конечно, кажется, что это очередная математическая штука, которая, как обычно, не находит применения в реальной жизни, и вообще не нужна никому, кроме самих математиков. Однако это далеко не так. Ведь все виды распределений и их графические представления были созданы исключительно под практические цели, а не в качестве прихоти учёных.
Применение
Безусловно, самое важное применение распределения находят в статистике, ведь там нужен комплексный анализ множества данных. Как показывает практика, очень многие массивы данных имеют примерно одинаковые распределения величин: критические области очень низких и очень высоких величин, как правило, содержат меньше элементов, чем средние значения.
Анализ больших массивов данных требуется не только в статистике. Он незаменим, например, в физической химии. В этой науке он используется для определения многих величин, которые связаны со случайными колебаниями и перемещениями атомов и молекул.
В следующем разделе разберёмся, насколько важно применение таких статистических понятий, как биномиальное распределение случайной величины в повседневной жизни для нас с вами.
Зачем мне это нужно?
Многие задают себе такой вопрос, когда дело касается математики. А между прочим, математика не зря называется царицей наук. Она является основой физики, химии, биологии, экономики, и в каждой из этих наук применяется в том числе и какое-либо распределение: будь это дискретное биномиальное распределение, или же нормальное, не важно. И если мы получше присмотримся к окружающему миру, то увидим, что математика применяется везде: в повседневной жизни, на работе, да даже человеческие отношения можно представить в виде статистических данных и провести их анализ (так, кстати, и делают те, кто работают в специальных организациях, занимающихся сбором информации).
Сейчас поговорим немного о том, что же делать, если вам нужно знать по данной теме намного больше, чем то, что мы изложили в этой статье.
Та информация, что мы дали в этой статье, далеко не полная. Существует множество нюансов, касаемо того, какую форму может принимать распределение. Биномиальное распределение, как мы уже выяснили, является одним из основных видов, на котором зиждется вся математическая статистика и теория вероятностей.
Если вам стало интересно, или в связи с вашей работой вам нужно знать по этой теме гораздо больше, нужно будет изучить специализированную литературу. Начать следует с университетского курса математического анализа и дойти там до раздела теории вероятностей. Также пригодятся знания в области рядов, ведь биномиальное распределение вероятностей - это ни что иное, как ряд последовательных членов.
Заключение
Прежде чем закончить статью, мы хотели бы рассказать ещё одну интересную вещь. Она касается непосредственно темы нашей статьи и всей математики в целом.
Многие люди твердят, что математика - бесполезная наука, и ничто из того, что они проходили в школе, им не пригодилось. Но знание ведь никогда не бывает лишним, и если вам что-то не пригодилось в жизни, значит, вы просто этого не помните. Если у вас есть знания, они могут вам помочь, но если их нет, то и помощи от них ждать не приходится.
Итак, мы рассмотрели понятие биномиального распределения и все связанные с ним определения и поговорили о том, как же это применяется в нашей с вами жизни.
